Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A，B（1，0）兩點，與y軸交于點C，直線y=x﹣2經過A，C兩點，拋物線的頂點為D．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）在直線AC上方的拋物線上存在一點P，使△PAC的面積最大，請直接寫出P點坐標及△PAC面積的最大值；

（3）在y軸上是否存在一點G，使得GD+GB的值最小？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x﹣2；D（，）；（2）P（2，1）；△PAC的面積最大為4；（3）存在；G（0，）.

【解析】

（1）利用一次函數是性質求得點A、C的坐標，然后把點A、B、C的坐標分別代入二次函數解析式，利用待定系數法求得二次函數解析式即可；將二次函數解析式轉化為頂點式方程，可以直接得到答案；

（2）利用分割法求得△PAC的面積為二次函數的形式，利用二次函數最值的求法進行解答；

（3）利用軸對稱-最短路徑方法證得點G，結合一次函數圖象上點的坐標特征求得點G的坐標．

（1）把x=0代入y=x﹣2中得：y=﹣2，

把y=0代入y=x﹣2中得：x=4，

∴A（4，0），C（0，﹣2），

把A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）分別代入y=ax2+bx+c，得，

解得．

則該拋物線的解析式為：y=﹣x2+x﹣2，

∴y=﹣x2+x﹣2=﹣（x﹣）2+，

∴頂點D（，）；

（2）在直線AC的上方拋物線上存在點P（2，1），使△PAC的面積最大，最大值為4．理由如下：

如圖1，過點P作PQ∥y軸交AC于Q，連接PC，PA．

設P（x，﹣x2+x﹣2），則Q（x，x﹣2）．

∴PQ=﹣x2+x﹣2﹣（x﹣2）=﹣x2+2x=﹣（x﹣2）2+2．

又∵S△PAC=S△PQC+S△PQA

=xPQ+（4﹣x）PQ

=2PQ，

∴S△PAC=﹣（x﹣2）2+4．

∴當x=2時，S△PAC最大值為4，此時﹣x2+x﹣2=1，

∴在直線AC的上方拋物線上存在點P（2，1），使△PAC的面積最大，最大值為4；

（3）存在點G（0，）使得GD+GB的值最小．理由如下：

如圖1，

作點B關于y軸的對稱點B′，連接B′D交y軸于點G，則B′（﹣1，0），

設直線B′D的解析式為y=kx+b，

則，解得：，

∴直線B′D的解析式為y=x+，

把x=0代入，得y=，

∴存在點G（0，）使得GD+GB的值最小．