Question

【題目】如圖1，已知矩形ABCD，E為AD邊上一動點，過A，B，E三點作⊙O，P為AB的中點，連接OP，

（1）求證：BE是⊙O的直徑且OP⊥AB；

（2）若AB=BC=8，AE=6，試判斷直線DC與⊙O的位置關系，并說明理由；

（3）如圖2，若AB=10，BC=8，⊙O與DC邊相交于H，I兩點，連結BH，當∠ABE=∠CBH時，求△ABE的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）相切，理由見解析；（3）25

【解析】試題分析：（1）利用矩形的性質以及平行線分線段成比例定理得出OP∥AE，AE=2PO，即可得出答案；

（2）首先延長PO交CD于M，求出MO的長等于半徑，進而得出答案；

（3）根據題意當∠1=∠2時，可得出tan∠1=tan∠2=tan∠4，設AE=x，CH=y，則DE=8﹣x，DH=10﹣y，可得==，求出x的值，即可得出答案．

解：（1）如圖1，

∵矩形ABCD，∴∠A=90°，∴BE為直徑，

∴OE=OB，

∵AP=BP，

∴OP∥AE，AE=2PO，

∴∠OPB=∠A=90°，

即OP⊥AB．

（2）此時直線CD與⊙O相切．

理由：如圖1，延長PO交CD于M，

在Rt△ABE中，AB=8，AE=6，

則BE2=62+82=100，

∴BE=10，

∴此時⊙O的半徑r=5，∴OM=r=5，

∵在矩形APMD中，PM=AD=8，

∴OM=PM﹣OP=5=r，

∴直線CD與⊙O相切．

（3）如圖2，

方法I：

∵BE為直徑，

∴∠EHB=90°，

∴∠3+∠4=90°，

∵∠C=90°，

∴∠3+∠2=90°，

∴∠2=∠4，

∴當∠1=∠2時，有

tan∠1=tan∠2=tan∠4，

設AE=x，CH=y，則DE=8﹣x，DH=10﹣y，

∴==，

解得，x=20，或x=5，

∵AE=x＜8，∴x=20，不合題意，舍去，取AE=x=5，

Rt△ABE的面積=AE×AB=×5×10=25

方法II：如圖3，延長PO交CD于點F，連接OH，

在矩形FPBC，OP⊥AB，且FC=PB=AB=5，

OP=AE，OF=8﹣AE，BE=2HO，

當∠ABE=∠CBH時，設tan∠ABE=tan∠CBH=k時，

在Rt△ABE中，則AE=10tan∠ABE=10k，

在Rt△HBC中，則HC=8tan∠ABE=8k，

∴OP=5k，OF=8﹣5k，FH=5﹣8k，

在Rt△ABE中，BE2=AE2+AB2=100（1+k2），

在Rt△OFH中，HO2=FH2+OF2=（5﹣8k）2+（8﹣5k）2，

∵BE=2HO，∴BE2=4 HO2

∴100（1+k2）=4[（5﹣8k）2+（8﹣5k）2]，

整理得，2 k2﹣5k+2=0，

解得，k=2，或k=，

當k=2時，AE=10k=20＞8，不合題意，舍去；

當k=時，AE=10k=5＜8，符合題意，

此時，Rt△ABE的面積=AE×AB=×5×10=25．