Question

如圖，已知以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O，∠B的平分線BE交AC于D，交
⊙O于E，過E作EF∥AC交BA的延長線于F．
（1）判斷直線EF與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AB=15，EF=10，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）連接OE，由于OE=OA，可知∠OEA=∠OAE，而EF∥AC，那么∠FEA=∠CAE，而∠CBE=∠CAE，∠CBE=∠ABE，于是∠FEA=∠ABE，再根據AB是直徑，可知∠BAE+∠ABE=90°，等量代換有∠FEA+∠OEA=90°，即∠FEC=90°，從而可知EF是⊙O的切線；
（2）由于∠FEA=∠FBE，∠EFA=∠BFE，易證△EFA∽△BFE，利用比例線段可求AF，而

AE

BE

=

AF

EF

，易得BE=2AE，在Rt△ABE中，利用勾股定理可求AE．

解答：解：（1）直線EF與⊙O相切．
理由：連接OE，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∵EF∥AC，
∴∠FEA=∠CAE，
∵∠CBE=∠CAE，∠CBE=∠ABE，
∴∠FEA=∠ABE，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠FEA+∠OEA=90°，
∴直線EF與⊙O相切；

（2）∵∠FEA=∠FBE，∠EFA=∠BFE，
∴△EFA∽△BFE，
∴

FE

FA

=

FB

FE

，
又∵AB=15，EF=10，
∴AF=5，
又∵

AE

BE

=

AF

EF

，
∴BE=2AE，
又∵AB²=BE²+AE²，
∴AE=3

5

．

點評：本題考查了切線的判定和性質、平行線的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理．解題的關鍵是連接OE，并且證明△EFA∽△BFE、求出AF．