Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點O是坐標原點，點A在第一象限，點C在第四象限，點B在x軸的正半軸上．∠OAB=90°且OA=AB，OB，OC的長分別是一元二次方程x2﹣11x+30=0的兩個根（OB＞OC）．

（1）求點A和點B的坐標．
（2）點P是線段OB上的一個動點（點P不與點O，B重合），過點P的直線l與y軸平行，直線l交邊OA或邊AB于點Q，交邊OC或邊BC于點R．設點P的橫坐標為t，線段QR的長度為m．已知t=4時，直線l恰好過點C．當0＜t＜3時，求m關于t的函數關系式．
（3）當m=3.5時，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵方程x2﹣11x+30=0的解為x1=5，x2=6，

∴OB=6，OC=5，

∴B點坐標為（6，0），

作AM⊥x軸于M，如圖，

∵∠OAB=90°且OA=AB，

∴△AOB為等腰直角三角形，

∴OM=BM=AM= OB=3，

∴B點坐標為（3，3）；

（2）

解：作CN⊥x軸于N，如圖，

∵t=4時，直線l恰好過點C，

∴ON=4，

在Rt△OCN中，CN= = =3，

∴C點坐標為（4，﹣3），

設直線OC的解析式為y=kx，

把C（4，﹣3）代入得4k=﹣3，解得k=﹣ ，

∴直線OC的解析式為y=﹣ x，

設直線OA的解析式為y=ax，

把A（3，3）代入得3a=3，解得a=1，

∴直線OA的解析式為y=x，

∵P（t，0）（0＜t＜3），

∴Q（t，t），R（t，﹣ t），

∴QR=t﹣（﹣ t）= t，

即m= t（0＜t＜3）；

（3）

解：設直線AB的解析式為y=px+q，

把A（3，3），B（6，0）代入得 ，解得 ，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+6，

同理可得直線BC的解析式為y= x﹣9，

當0＜t＜3時，m= t，若m=3.5，則 t=3.5，解得t=2，此時P點坐標為（2，0）；

當3≤t＜4時，Q（t，﹣t+6），R（t，﹣ t），

∴m=﹣t+6﹣（﹣ t）=﹣ t+6，若m=3.5，則﹣ t+6=3.5，解得t=10（不合題意舍去）；

當4≤t＜6時，Q（t，﹣t+6），R（t， t﹣9），

∴m=﹣t+6﹣（ t﹣9）=﹣ t+15，若m=3.5，則﹣ t+15=3.5，解得t= ，此時P點坐標為（ ，0），

綜上所述，滿足條件的P點坐標為（2，0）或（ ，0）．

【解析】本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握等腰直角三角形的性質和一次函數圖象上點的坐標特征；會運用待定系數法求一次函數解析式；理解坐標與圖形性質，會利用點的坐標表示線段的長；學會運用分類討論的思想解決數學問題．（1）先利用因式分解法解方程x2﹣11x+30=0可得到OB=6，OC=5，則B點坐標為（6，0），作AM⊥x軸于M，如圖，利用等腰直角三角形的性質得OM=BM=AM= OB=3，于是可寫出B點坐標；（2）作CN⊥x軸于N，如圖，先利用勾股定理計算出CN得到C點坐標為（4，﹣3），再利用待定系數法分別求出直線OC的解析式為y=﹣ x，直線OA的解析式為y=x，則根據一次函數圖象上點的坐標特征得到Q（t，t），R（t，﹣ t），所以QR=t﹣（﹣ t），從而得到m關于t的函數關系式．（3）利用待定系數法求出直線AB的解析式為y=﹣x+6，直線BC的解析式為y= x﹣9，然后分類討論：當0＜t＜3時，利用 t=3.5可求出t得到P點坐標；
當3≤t＜4時，則Q（t，﹣t+6），R（t，﹣ t），于是得到﹣t+6﹣（﹣ t）=3.5，解得t=10，不滿足t的范圍舍去；當4≤t＜6時，則Q（t，﹣t+6），R（t， t﹣9），所以﹣t+6﹣（ t﹣9）=3.5，然后解方程求出t得到P點坐標．
【考點精析】通過靈活運用等腰直角三角形和確定一次函數的表達式，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法即可以解答此題．