Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，P為⊙O外一點，且OP∥BC，∠P=∠BAC ．

（１）求證：PA為⊙O 的切線；

（２）若OB=5，OP=，求AC的長．

Answer 1

【答案】（１）詳見解析

（２） AC=8

【解析】

（1）要證PA為⊙O 的切線只要證∠PAO =900，通過直徑所對圓周角是直角可得∠ACB=900，從而由△ABC∽△POA即可得證。

（2）同（1）△ABC∽△POA，利用相似比求得BC的長即可由勾股定理求得AC的長。

解：（１）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=900。

∵OP∥BC，∴∠B=∠AOP。

又∠P=∠BAC ，∴△ABC∽△POA，∴∠PAO=∠ACB=900。

∴PA為⊙O 的切線。

（２）∵OB=5，AB是⊙O的直徑，∴OA=5，AB=2OB=10。

由（１）知，△ABC∽△POA，∴。

又∵OP=，∴。

在Rt△ACB中，。

∴AC的長為8。