Question

【題目】已知兩直線l1 ， l2分別經過點A（1，0），點B（﹣3，0），并且當兩直線同時相交于y正半軸的點C時，恰好有l1⊥l2 ， 經過點A、B、C的拋物線的對稱軸與直線l1交于點K，如圖所示．

（1）求點C的坐標，并求出拋物線的函數解析式；
（2）拋物線的對稱軸被直線l1 ， 拋物線，直線l2和x軸依次截得三條線段，問這三條線段有何數量關系？請說明理由；
（3）當直線l2繞點C旋轉時，與拋物線的另一個交點為M，請找出使△MCK為等腰三角形的點M，簡述理由，并寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：解法1：∵l1⊥l2，

∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，

又∠ACO+∠CAO=90°，

∴∠BCO=∠CAO，又∠COA=∠BOC=90°

∴△BOC∽△COA，

∴ ，

即 ，

∴ ，

∴點C的坐標是（0， ），

由題意，可設拋物線的函數解析式為 ，

把A（1，0），B（﹣3，0）的坐標分別代入 ，

得 ，

解這個方程組，得 ，

∴拋物線的函數解析式為 ．

解法2：由勾股定理，得（OC2+OB2）+（OC2+OA2）=BC2+AC2=AB2，

又∵OB=3，OA=1，AB=4，

∴ ，

∴點C的坐標是（0， ），

由題意可設拋物線的函數解析式為y=a（x﹣1）（x+3），把C（0， ）代入

函數解析式得 ，

所以，拋物線的函數解析式為 =

（2）

解：解法1：截得三條線段的數量關系為KD=DE=EF．

理由如下：

設直線l1的解析式為y=kx+b，把A（1，0），C（0， ），代入解析式，

解得k=﹣ ，b= ，

所以直線l1的解析式為 ，

同理可得直線l2的解析式為 ，

拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，

由此可求得點K的坐標為（﹣1，2 ），

點D的坐標為（﹣1， ），點E的坐標為（﹣1， ），點F的坐標為（﹣1，0），

∴KD= ，DE= ，EF= ，

∴KD=DE=EF．

解法2：截得三條線段的數量關系為KD=DE=EF，

理由如下：

由題意可知Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠CAB=60°，

則可得 ， ，

由頂點D坐標（﹣1， ）得 ，

∴KD=DE=EF= ；

（3）

解：當點M的坐標分別為（﹣2， ），（﹣1， ）時，△MCK為等腰三角形．

理由如下：

（i）連接BK，交拋物線于點G，

∵F（﹣1，0），直線l1的解析式為 ，

∴K（﹣1，2 ），

∵B（﹣3，0），

∴直線BK的解析式為：y= x+3 ①，

∵拋物線的函數解析式為y═ ②；

聯立即可求出點G的坐標為（﹣2， ），

又∵點C的坐標為（0， ），則GC∥AB，

∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK為正三角形，

∴△CGK為正三角形

∴當l2與拋物線交于點G，即l2∥AB時，符合題意，此時點M1的坐標為（﹣2， ），

（ii）連接CD，由KD= ，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC為等腰三角形，

∴當l2過拋物線頂點D時，符合題意，此時點M2坐標為（﹣1， ），

（iii）當點M在拋物線對稱軸右邊時，只有點M與點A重合時，滿足CM=CK，

但點A、C、K在同一直線上，不能構成三角形，

綜上所述，當點M的坐標分別為（﹣2， ），（﹣1， ）時，△MCK為等腰三角形．

【解析】（1）利用△BOC∽△COA，得出C點坐標，再利用待定系數法求出二次函數解析式即可；（2）可求得直線l1的解析式為 ，直線l2的解析式為 ，進而得出D，E，F點的坐標即可得出，三條線段數量關系；（3）利用等邊三角形的判定方法得出△ABK為正三角形，以及易知△KDC為等腰三角形，進而得出△MCK為等腰三角形時M點坐標．