Question

【題目】拋物線的頂點為（m，n）拋物線的頂點為（m,n），如果 ，那么我們稱拋物線與關于點 中心對稱，給出拋物線①；②

(1)判斷拋物線①與拋物線②是否中心對稱?若是，求出對稱中心的坐標；若不是，說明理由；

(2)直線y=m交拋物線①于A. B兩點，交拋物線②于C. D兩點，如果AB=2CD，求m的值；

(3)設拋物線①與拋物線②的頂點分別為M、N，點P在x軸上移動，若△MNP為直角三角形，求點P坐標。

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)見解析

【解析】

（1）根據二次函數解析式，求出兩函數的關系，結合頂點坐標得出對稱中心；

（2）利用根與系數的關系以及兩點之間的距離得出m的值即可；

（3）利用勾股定理得出符合要求的所有點的坐標．

(1)拋物線①的 =1,

拋物線②的=1.

∵，

∴拋物線①與拋物線②是中心對稱,拋物線①的頂點坐標(2,1)，

拋物線②的頂點坐標(2,5)，

∴對稱中心的坐標 ，即：(0,2)；

(2)點A. B的橫坐標是方程x+4x+3=m的兩根，

∴x+x=4, x.x=3m，

∴AB=| x-x|=

同理CD=，

∵AB=2CD，

解得：m=；

(3)設點P(n,0).由(1)得M(2,1),N(2,5)，

作ME⊥x軸于E,作NF⊥x軸于F,PN=NF+PF=25+(n2) ，

同理PM=ME+PE=1+(n+2),MN=4+6=52.

若∠MNP=90,PM=MN+PN,解得n=；

若∠NMP=90,PN=MN+PM,解得n=；

若∠NPM=90,PN+PM=MN,解得n=±3

綜上,點P坐標為：P(192,0),P(72,0),P(3,0),P(3,0).