Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D為△ABC內一點，且BD=AD．

（1）求證：CD⊥AB；

（2）∠CAD=15°，E為AD延長線上的一點，且CE=CA．

①求證：DE平分∠BDC；

②若點M在DE上，且DC=DM，請判斷ME、BD的數量關系，并給出證明；

③若N為直線AE上一點，且△CEN為等腰三角形，直接寫出∠CNE的度數．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②：ME=BD，證明詳見解析；③∠CNE的度數為7.5°、15°、82.5°、150°．

【解析】

（1）根據中垂線的判定定理“與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上”可得出結論.

（2）①由∠CAD=15°，BD=AD與直角等腰三角形的性質可知，∠DBA=∠DAB=30°，則可得∠BDE=30°+30°=60°，又根據SSS可證△ADC≌△BDC，則∠ACD=∠BCD=45°，可知∠CDE=∠ACD+∠CAD=45°+15°=60°，故DE平分∠BDC.

②連接MC，由DC=DM，∠CDE=60°，可知△MCD為等邊三角形，∠ECM=∠CMD-∠CAD=45°則根據SAS可證△BDC≌△EMC，得出結論ME=BD.

③根據題意可知，分類：當EN=EC時；當EN=CN時；當CE=CN時三種情況求出∠CNE的度數.

（1）證明：∵CB=CA，DB=DA，

∴CD垂直平分線段AB，

∴CD⊥AB，

故答案為：CD⊥AB.

（2）①證明：∵AC=BC，

∴∠CBA=∠CAB，

又∵∠ACB=90°，

∴∠CBA=∠CAB=45°，

又∵在△ADC和△BDC中，

，

∴△ADC≌△BDC（SSS），

∴∠CAD=∠CBD=15°，

∴∠DBA=∠DAB=30°，

∴∠BDE=30°+30°=60°，

∵∠ACB=90°，∠ACD=∠BCD，

∴∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠CDE=∠ACD+∠CAD=45°+15°=60°，

∵∠CDE=∠BDE=60°，

∴DE平分∠BDC；

故答案為：DE平分∠BDC.

②結論：ME=BD，

理由：連接MC，

∵DC=DM，∠CDE=60°，

∴△MCD為等邊三角形，

∴CM=CD，∠CMD=60°，

又∵EC=CA，∠CAD=15°，

∴∠ECM=∠CMD-∠CAD=45°,

在△BDC和△EMC中，

，

∴△BDC≌△EMC（SAS），

∴ME=BD，

故答案為：ME=BD.

③當EN=EC時，∠ENC=7.5°或82.5°；

當EN=CN時，∠ENC=150°；

當CE=CN時，∠CNE=15°，

故答案為：∠CNE的度數為7.5°、15°、82.5°、150°．