Question

（本題滿分12分，任選一題作答．）
Ⅰ、如圖①，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，邊長為5的正三角形OAB的OA邊在x軸的正半軸上．點C、D同時從點O出發，點C以1單位長/秒的速度向點A運動，點D以2個單位長/秒的速度沿折線OBA運動．設運動時間為t秒，0＜t＜5．
（1）當0＜t＜

5

2

時，證明DC⊥OA；
（2）若△OCD的面積為S，求S與t的函數關系式；
（3）以點C為中心，將CD所在的直線順時針旋轉60°交AB邊于點E，若以O、C、E、D為頂點的四邊形是梯形，求點E的坐標．
Ⅱ、（1）如圖Ⅱ-1，已知△ABC，過點A畫一條平分三角形面積的直線；
（2）如圖Ⅱ-2，已知l₁∥l₂，點E，F在l₁上，點G，H在l₂上，試說明△EGO與△FHO面積相等．
（3）如圖Ⅱ-3，點M在△ABC的邊上，過點M畫一條平分三角形面積的直線．

Answer 1

分析：Ⅰ、（1）當0＜t＜

5

2

時，點C不過OA中點，想證明垂直應先作出一條和CD有關的垂線，利用相似求解；
（2）應分當0＜t＜

5

2

時，和

5

2

≤t＜5時兩種情況探討，應用t表示利用特殊的三角函數表示出OC邊上的高．進而表示出面積即可．
（3）以O、C、E、D為頂點的四邊形是梯形，那么應根據（1）（2）中的兩種類型的三角形，可分DE∥CO、CD∥OE兩種情況進行探討；
Ⅱ、（1）根據三角形的面積公式，只需過點A和BC的中點畫直線即可；
（2）結合平行線間的距離相等和三角形的面積公式即可證明；
（3）結合（1）和（2）的結論進行求作．

解答：Ⅰ、解：（1）作BG⊥OA于G．
在Rt△OBG中，

OG

OB

=cos∠BOA=cos60°=

1

2

，
而

OC

OD

=

1

2

，
∴

OG

OB

=

OC

OD

，
又∵∠DOC=∠BOG，
∴△DOC∽△BOG，
∴∠DCO=∠BGO=90°．
即DC⊥OA；

（2）當0＜t＜

5

2

時，
在Rt△OCD中，CD=OD×sin60°=2t×

3

2

=

3

t，
∴S=

1

2

×OC×CD=

1

2

×t×

3

t=

3

2

t2；
當

5

2

≤t＜5時（如圖2）
過點D作DH⊥OA于H．
在Rt△AHD中，
HD=AD×sin60°=（10-2t）×

3

2

=

3

（5-t），
S=

1

2

×OC×HD=

1

2

×t×

3

（5-t）=

5 3

2

t-

3

2

t²；

（3）當DE∥OC時，△DBE是等邊三角形．（如圖3）
BE=BD=5-2t．
在△CAE中，∠ECA=90°-∠DCE=30°，∠BAO=60°，
∴∠CEA=90°．
而AC=5-t，∴AE=

1

2

AC=

5-t

2

，
∴BE+AE=（5-2t）+

5-t

2

=5，
∴t=1，
因此AE=

5-t

2

=2．
過點E作EM⊥OA于M．
則EM=AE×sin60°=2×

3

2

=

3

，
AM=AE×cos60°=2×

1

2

=1，OM=OA-AM=4．
∴點E的坐標為（4，

3

）；
當CD∥OE時（如圖4），BD=2t-5．
∠OEA=90°，∴CD⊥AB．
而△OAB是等邊三角形，
∴DE=BD-

1

2

AB=

5

2

，
∴2t-5=

5

2

，
∴t=

15

4

，
因此AE=

5-t

2

=

5

8

，
∴E的縱坐標為

5

8

×

3

2

=

5 3

16

，
橫坐標為5-

5

8

×

1

2

=

75

16

，
∴點E的坐標為（

75

16

，

5 3

16

）；
綜上所述，點E的坐標為（4，

3

）或（

75

16

，

5 3

16

）；

Ⅱ、（1）解：取BC的中點D，過A、D畫直線，則直線AD為所求；

（2）證明：∵l₁∥l₂，
∴點E，F到l₂之間的距離都相等，設為h．
∴S_△EGH=

1

2

GH•h，S_△FGH=

1

2

GH•h，
∴S_△EGH=S_△FGH，
∴S_△EGH-S_△GOH=S_△FGH-S_△GOH，
∴△EGO的面積等于△FHO的面積；

（3）解：取BC的中點D，連接MD，過點A作AN∥MD交BC于點N，過M、N畫直線，則直線MN為所求．

點評：Ⅰ、是一道旋轉與運動相結合的大題，并且聯系函數與四邊形知識，要注意這些知識點間的融會貫通．
Ⅱ、主要是根據三角形的面積公式，知：三角形的中線把三角形的面積等分成了相等的兩部分；同底等高的兩個三角形的面積相等．