Question

【題目】如圖，AB是的直徑，C是上一點，D是的中點，為延長線上一點，AE切于A，AC與BD交于點H，與OE交于點F，連結EC．

（1）求證：EC是的切線；

（2）若DH=9，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由垂徑定理可得OE垂直平分AC，可證△AOE≌△COE，可得∠ECO=90，即可證明結論；

（2）連結AD，可得∠DAC=∠B，故，可得AO=10，RtDHF中，由于∠ODB=∠B，可得tan∠ODB=，即可求出DF=即可求出答案．

證明：（1）連結OC

∵D是的中點，OD是的半徑

∴OE垂直平分AC

∴AE=EC， OA=OC，

∵OE=OE

∴△AOE≌△COE（SSS）

∴∠ECO=∠EAO

又AE是⊙O的切線

∴∠EAO=90

即∠ECO=90

∴EC是⊙O的切線

（2）連結AD，

∵OE垂直平分AC

∴AD=CD, ∠AFD=∠CFD=90°

∴∠DAC=∠DCA

∵∠DCA=∠B

∴∠DAC=∠B

∵OB=OD

∴∠DFH=∠B

∴

∴

∴

∴設FH=3x，則DF=4x

∵DH=9

∴

∴

∴

∴

∴ ，

∴ ，

∴AO=10

∵∠EAO=∠AFO=90°，∠AOF=∠AOE

∴△AFO∽△EAO

∴

∴

∴sin∠AEC=sin∠AEO=