Question

已知：如圖1，PA切⊙O于A點，割線PCB交⊙O于C、B兩點，D是線段BP上一點，且PD²=PB•PC，直線AD交⊙O于E點．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）求證：AB•AC=AD•AE；
（3）若把題中條件“D是線段BP上一點”改為“D是線段BP延長線上一點”（如圖2），則題（2）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵PA是⊙O的切線，
∴∠PAC=∠ABC，PA²=PC•PB
∵PD²=PB•PC
∴PA=PD
∴∠PAD=∠PDA
∴∠PAC+∠DAC=∠ABC+∠BAE
∵∠PAC=∠ABC
∴∠DAC=∠BAE
∴AD平分∠BAC；

（2）證明：連接BE，則∠AEB=∠ACB
∵∠BAE=∠CAD
∴△ABE∽△ADC
∴=即：AB•AC=AD•AE；

（3）解：（2）的結論仍然成立，
證明：連接BE
∵AB是直徑
∴∠AEB=∠ACB=∠ACD=90°
∵PA是⊙O的切線
∴PA²=PC•PB，∠BAP=90°
∵PD²=PB•PC
∴PA=PD
∴∠PAD=∠PDA
∵∠BAP=90°，∠BEA=90°
∴∠BAE+∠PAD=∠BAE+∠EBA=90°
∴∠PAD=∠EBA
∵∠BEA=∠ACD=90°
∴△ABE∽△ADC
∴=，即：AB•AC=AD•AE
因此，（2）的結論仍然成立．
分析：（1）本題可先根據切割線定理，以及給出的PD²=PB•PC，得出PA=PD，根據等邊對等角，得出∠PAD=∠PDA，根據∠PAD=∠PAC+∠DAC，∠PDA=∠ABC+BAE，以及圓周角定理得出∠BAE=∠EAC，即AD平分∠BAC；
（2）本題實際求的是三角形ACD和ABE相似，已知的條件有：圓周角∠ACD=∠AEB，又由（1）的角平分線得出的∠BAE=∠CAE，因此兩三角形就相似，即可得出題中所求證得結論；
（3）和（1）（2）的方法一樣，先根據切割線定理得出PA=PD，然后根據等角的余角相等，得出∠EBA=∠PAD=∠D，又已知了一組直角，那么三角形ABE和三角形ACD相似，由此可得出所求的結論．
點評：本題主要考查了切線的性質，切割線定理以及相似三角形的判定與性質等知識點．用相似三角形來求線段的比例關系是本題的基本思路．