Question

（2012•義烏市）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，點(diǎn)D為對(duì)角線OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E（4，n）在邊AB上，反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、E，且tan∠BOA=

1

2

．
（1）求邊AB的長(zhǎng)；
（2）求反比例函數(shù)的解析式和n的值；
（3）若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點(diǎn)F，將矩形折疊，使點(diǎn)O與點(diǎn)F重合，折痕分別與x、y軸正半軸交于點(diǎn)H、G，求線段OG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)E的縱坐標(biāo)判斷出OA=4，再根據(jù)tan∠BOA=

1

2

即可求出AB的長(zhǎng)度；
（2）根據(jù)（1）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式求出反比例函數(shù)解析式，再把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入進(jìn)行計(jì)算即可求出n的值；
（3）先利用反比例函數(shù)解析式求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，從而得到CF的長(zhǎng)度，連接FG，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得FG=OG，然后用OG表示出CG的長(zhǎng)度，再利用勾股定理列式計(jì)算即可求出OG的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）∵點(diǎn)E（4，n）在邊AB上，
∴OA=4，
在Rt△AOB中，∵tan∠BOA=

1

2

，
∴AB=OA×tan∠BOA=4×

1

2

=2；

（2）根據(jù)（1），可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），
∵點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)D（2，1）
∴

k

2

=1，
解得k=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

2

x

，
又∵點(diǎn)E（4，n）在反比例函數(shù)圖象上，
∴

2

4

=n，
解得n=

1

2

；

（3）如圖，設(shè)點(diǎn)F（a，2），
∵反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點(diǎn)F，
∴

2

a

=2，
解得a=1，
∴CF=1，
連接FG，設(shè)OG=t，則OG=FG=t，CG=2-t，
在Rt△CGF中，GF²=CF²+CG²，
即t²=（2-t）²+1²，
解得t=

5

4

，
∴OG=t=

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了反比例函數(shù)的知識(shí)，包括待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，點(diǎn)在函數(shù)圖象上，銳角三角函數(shù)的定義，以及折疊的性質(zhì)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后求出反比例函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．