Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線AB：y= x+4交x軸于點A，交y軸于點B．直線CD：y=﹣ x﹣1與直線AB相交于點M，交x軸于點C，交y軸于點D．

（1）直接寫出點B和點D的坐標；
（2）若點P是射線MD上的一個動點，設點P的橫坐標是x，△PBM的面積是S，求S與x之間的函數關系；
（3）當S=20時，平面直角坐標系內是否存在點E，使以點B、E、P、M為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點E的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點B是直線AB：y= x+4與y軸的交點坐標，

∴B（0，4），

∵點D是直線CD：y=﹣ x﹣1與y軸的交點坐標，

∴D（0，﹣1）；

（2）解：如圖1，∵直線AB與CD相交于M，

∴M（﹣5， ），

∵點P的橫坐標為x，

∴點P（x，﹣ x﹣1），

∵B（0，4），D（0，﹣1），

∴BD=5，

∵點P在射線MD上，即：x≥0時，

S=S△BDM+S△BDP= ×5（5+x）= x+ ，

（3）解：如圖，由（1）知，S= x+ ，

當S=20時， x+ =20，

∴x=3，

∴P（3，﹣2），

①當BP是對角線時，取BP的中點G，連接MG并延長取一點E'使GE'=GE，

設E'（m，n），

∵B（0，4），P（3，﹣2），

∴BP的中點坐標為（ ，1），

∵M（﹣5， ），

∴ = ， =1，

∴m=8，n= ，

∴E'（8， ），

②當AB為對角線時，同①的方法得，E（﹣9，6），

③當MP為對角線時，同①的方法得，E'（﹣2，﹣ ），

即：滿足條件的點E的坐標為（8， ）、（﹣9，6）、（﹣2，﹣ ）．

【解析】（1）將x=0代入函數解析式得到對應的y值，從而可得到點B和點D的坐標；
（2）將所求三角形的面積轉為△BDM和△BDP的面積之和，然后依據三角形的面積公式列出函數關系式即可；
（3）分三種情況利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形和線段的中點坐標的確定方法即可得出結論.