Question

（2012•玄武區一模）如圖，△ABC內接于⊙O，∠DAB=∠ACB．
（1）判斷直線AD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若∠DAB=30°，AB=1，求弦AB所對的弧長；
（3）在（2）的條件下，點C在優弧AB上運動，是否存在點C，使點O到弦BC的距離為

1

2

？若有，請直接寫出AC的長；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖1，延長AO交⊙O于點M，連接BM．欲證直線AD與⊙O相切，只需證明AO⊥AD即可；
（2）如圖2，連接AO、BO．利用圓周角定理證得△AOB為等邊三角形；分類討論：①當求劣弧AB的弧長時，該弧所對的圓心角的度數為60°；②當求優弧AB的弧長時，該弧所對的圓心角的度數為300°；
（3）①如圖3，過點O作OM₁⊥BC．AC為⊙O的直徑時，根據圓周角定理、三角形中位線定理可知OM₁=

1

2

AB=1；
②如圖3，過點O作OM₂⊥BC．當BC∥AD時，利用切線的性質、垂徑定理可知OM₂=

1

2

OC=

1

2

AB=

1

2

．

解答：解：（1）直線AD與⊙O相切．理由如下：
如圖1，延長AO交⊙O于點M，連接BM．
∵AM是⊙O直徑，
∴∠ABM=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴∠AMB+∠MAB=90°（直角三角形的兩個銳角互余）．
在⊙O中，∵∠DAB=∠ACB，且∠ACB=∠AMB（同弧所對的圓周角相等），
∴∠DAB+∠MAB=90°，即AO⊥AD；
又∵直線AD經過半徑OA的外端點A，
∴直線AD與⊙O相切．

（2）連接AO、BO．
在⊙O中，∵∠DAB=∠ACB=30°，∴∠AOB=60°（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半）．
∵AO=BO，∴△ABO為等邊三角形，∴AO=BO=AB=1

AB

=

60π1

180

=

π

3

，或者

AB

=

300π1

180

=

5π

3

；

（3）2或1．
作直徑AC，則∠ABC=90°，
又∵OM⊥BC，
∴AB∥OM．
∴OM=

1

2

AB=

1

2

，
則當AC是直徑時滿足條件，此時AC=2；
過點O作OM₂⊥BC．當BC∥AD時，垂徑定理可知OM₂=

1

2

OC=

1

2

AB=

1

2

．則△AOC是等邊三角形．
則AC=OC=1．

點評：本題考查了圓的綜合題：直徑所對的圓周角是直角；同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半；三角形中位線定理；垂徑定理等知識點是綜合運用．