Question

已知拋物線y=x²-2x+m-1與x軸只有一個交點，且與y軸交于A點，如圖，設它的頂點為B．
（1）求m的值；
（2）過A作x軸的平行線，交拋物線于點C，求證：△ABC是等腰直角三角形；
（3）將此拋物線向下平移4個單位后，得到拋物線C′，且與x軸的左半軸交于E點，與y軸交于F點，如圖．請在拋物線C′上求點P，使得△EFP是以EF為直角邊的直角三角形．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線與x軸只有一個交點可知△的值為0，由此得到一個關于m的一元一次方程，解此方程可得m的值；
（2）根據拋物線的解析式求出頂點坐標，根據A點在y軸上求出A點坐標，再求C點坐標，根據三個點的坐標得出△ABC為等腰直角三角形；
（3）根據拋物線解析式求出E、F的坐標，然后分別討論以E為直角頂點和以F為直角頂點P的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²-2x+m-1與x軸只有一個交點，
∴△=（-2）²-4×1×（m-1）=0，
解得，m=2；

（2）由（1）知拋物線的解析式為y=x²-2x+1=（x-1）²，易得頂點B（1，0），
當x=0時，y=1，得A（0，1）．
由1=x²-2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C點坐標為：（2，1）．
過C作x軸的垂線，垂足為D，則CD=1，BD=x_D-x_B=1．
∴在Rt△CDB中，∠CBD=45°，BC=

2

．
同理，在Rt△AOB中，AO=OB=1，于是∠ABO=45°，AB=

2

．
∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°，AB=BC，
因此△ABC是等腰直角三角形；

（3）由題知，拋物線C′的解析式為y=x²-2x-3，
當x=0時，y=-3；
當y=0時，x=-1或x=3，
∴E（-1，0），F（0，-3），即OE=1，OF=3．
第一種情況：若以E點為直角頂點，設此時滿足條件的點為P₁（x₁，y₁），作P₁M⊥x軸于M．
∵∠P₁EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°，
∴∠P₁EM=∠EFO，得Rt△EFO∽Rt△P₁EM，
則

P1M

EM

=

OE

OF

=

1

3

，即EM=3P₁M．
∵EM=x₁+1，P₁M=y₁，
∴x₁+1=3y₁①
由于P₁（x₁，y₁）在拋物線C′上，
則有3（x₁²-2x₁-3）=x₁+1，
整理得，3x₁²-7x₁-10=0，解得，
x1=

10

3

，或x₂=-1（舍去）
把x1=

10

3

代入①中可解得，
y₁=

13

9

．
∴P₁（

10

3

，

13

9

）．
第二種情況：若以F點為直角頂點，設此時滿足條件的點為P₂（x₂，y₂），作P₂N⊥y軸于N．
同第一種情況，易知Rt△EFO∽Rt△FP₂N，
得

FN

P2N

=

OE

OF

=

1

3

，即P₂N=3FN．
∵P₂N=x₂，FN=3+y₂，
∴x₂=3（3+y₂）②
由于P₂（x₂，y₂）在拋物線C′上，
則有x₂=3（3+x₂²-2x₂-3），
整理得3x₂²-7x₂=0，解得x₂=0（舍）或x2=

7

3

．
把x2=

7

3

代入②中可解得，
y2=-

20

9

．
∴P₂（

7

3

，-

20

9

）．
綜上所述，滿足條件的P點的坐標為：（

10

3

，

13

9

）或（

7

3

，-

20

9

）．

點評：本題考查二次函數的綜合運用，其中涉及求拋物線解析式和拋物線的頂點、三角形相似、拋物線的平移及直角三角形的性質．