Question

【題目】已知：點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離OD=OE，且OB＝OC.

（1）如圖，若點O在BC上，求證：AB＝AC；

（2）如圖，若點O在△ABC的內部，求證：AB＝AC；

（3）若點O在△ABC的外部，AB＝AC成立嗎？請畫圖表示.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）求證AB=AC，就是求證∠B=∠C，可通過構建全等三角形來求．過點O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，那么可以用斜邊直角邊定理（HL）證明Rt△OEB≌Rt△OFC來實現；（2）首先得出Rt△OEB≌Rt△OFC，進而得出AB=AC；（3）不一定成立，當∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時，有AB=AC；否則，AB≠AC．

試題解析：（1）證明：過點O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

由題意知，

在Rt△OEB和Rt△OFC中

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（2）證明：過點O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

由題意知，OE=OF．∠BEO=∠CFO=90°，

∵在Rt△OEB和Rt△OFC中

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），

∴∠OBE=∠OCF，

又∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（3）不一定成立，當∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時AB=AC，否則AB≠AC．（如圖）