Question

已知平面直角坐標系xOy（如圖），一次函數的圖象與y軸交于點A，點M在正比例函數的圖象上，且MO=MA．二次函數y=x²+bx+c的圖象經過點A、M．
（1）求線段AM的長；
（2）求這個二次函數的解析式；
（3）如果點B在y軸上，且位于點A下方，點C在上述二次函數的圖象上，點D在一次函數的圖象上，且四邊形ABCD是菱形，求點C的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出根據OA垂直平分線上的解析式，再根據兩點的距離公式求出線段AM的長；
（2）二次函數y=x²+bx+c的圖象經過點A、M．待定系數法即可求出二次函數的解析式；
（3）可設D（n，n+3），根據菱形的性質得出C（n，n^2_ n+3）且點C在二次函數y=x^2_ x+3上，得到方程求解即可．
解答：解：（1）在一次函數y=x+3中，
當x=0時，y=3．
∴A（0，3）．
∵MO=MA，
∴M為OA垂直平分線上的點，
可求OA垂直平分線上的解析式為y=，
又∵點M在正比例函數，
∴M（1，），
又∵A（0，3）．
∴AM=；

（2）∵二次函數y=x²+bx+c的圖象經過點A、M．可得
，
解得．
∴y=x²-x+3；

（3）∵點D在一次函數的圖象上，
則可設D（n，n+3），
設B（0，m），（m＜3），C（n，n²-n+3）
∵四邊形ABDC是菱形，
∴|AB|=3-m，|DC|=|y_D-y_C|=|n+3-（n^2_n+3）|=|n-n²|，
|AD|==|n|，
∵|AB|=|DC|，
∴3-m=n-n²，①，
∵|AB|=|DA|，
∴3-m=n，②
解①②得，n₁=0（舍去），n₂=2，
將n=2，代入C（n，n^2_n+3），
∴C（2，2）．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及的知識點有拋物線解析式的確定，兩點的距離公式，菱形的性質，解二元一次方程，綜合性較強，難度較大．