Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=BC，點E在邊AB上，EF⊥AC于F．

（1）尺規作圖：過點A作AD⊥BC于點D（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）求證：∠CAD=∠AEF；（3）若∠ABC=45°，AD與EF交于點G，求證：EG=2AF．

Answer 1

【答案】（1）圖形見解析；（2）證明過程見解析；（3）證明過程見解析

【解析】

試題分析：（1）、根據高線的作法作出圖形；（2）、根據AB=BC得出∠C=∠BAC，根據垂直得出∠CDA=∠EFA=90°，根據三角形內角和定理得出∠DAC=∠AEF；（3）、過點E作EM∥BC，題意得出EGN≌△ANM，從而說明EG=AM，根據等腰三角形的三線合一定理得出AM=2AF，則EG=2AF.

試題解析：（1）、作圖略

（2）、∵BC=BA ∴∠C=∠BAC ∵AD⊥BC，EF⊥AC ∴∠CDA=∠EFA=900

∴1800－∠C －∠CDA=1800－∠BAC －∠EFA 即∠DAC=∠AEF

（3）、過點E作EM∥BC分別交AD、AC于點N、M

∵EM∥BC ∴∠MEA=∠B=450，∠ENA=∠ADB=900， ∴△AEN為等腰直角三角形，∠ANM=900，

∴NE=NA ∴∠ENA=∠ANM ∵EF⊥AC， ∴∠EFA=900 ∴∠ENA=∠EFA

又∵∠EGN=∠AGF ∴1800－∠ENA －∠EGN=1800－∠EFA －∠AGF 即∠NEG=∠NAM

∴△ENG≌△ANM ∴EG=AM ∵BC=BA ∴∠C=∠BAC

∵EM∥BC ∴∠EMA=∠C ∴∠EMA=∠BAC ∴△EMA為等腰三角形

又 ∵EF⊥MA ∴AM=2AF ∴EG=2AF