Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx-3（a≠0）與x軸交于A，B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標是（1，0），C點坐標是（4，-3）．

（1）求拋物線解析式；

（2）點M是（1）中拋物線上一個動點，且位于直線AC的上方，試求△ACM的最大面積以及此時點M的坐標；

（3）拋物線上是否存在點P，使得△PAC是以AC為直角邊的直角三角形？如果存在，求出P點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+4x-3；（2），M（，）；（3）（-1，-8）或（2，1）.

【解析】

試題分析：（1）代入A，C兩點，列出方程，解得a，b即可；

（2）設M（a，-a2+4a-3），求出直線直線AC的解析式為：y=1-x，過M作x軸的垂線交AC于N，則N（a，1-a），即有三角形ACM的面積為△AMN和△CMN的面積之和，化簡運用二次函數的最值，即可得到；

（3）討論當∠ACP=90°，當∠CAP=90°，運用直線方程和拋物線方程求交點即可．

試題解析：（1）由于A點的坐標是（1，0），C點坐標是（4，-3），

則a+b-3=0，且16a+4b-3=-3，

解得，a=-1，b=4，

即拋物線的解析式為：y=-x2+4x-3；

（2）設M（a，-a2+4a-3），

設直線AC的解析式為y=kx+b，

根據題意得：，

解得：，

∴直線AC的解析式為：y=1-x，

過M作x軸的垂線交AC于N，

如圖所示：則N（a，1-a），

即有三角形ACM的面積為△AMN與△CMN的面積之和，即為

（a-1+4-a）（-a2+4a-3-1+a）

=（-a2+5a-4），

當a=時，面積取得最大，且為，

此時M（，）；

（3）存在，理由如下：

當∠ACP=90°，即有此時CP：y=x-7，

由CP解析式和拋物線解析式得：，

解得：，或（不合題意舍去），

∴P（-1，-8）；

當∠CAP=90°，由AC的斜率為-1，即有AP的斜率為1，

此時AP：y=x-1，

由AP解析式和拋物線解析式得：，

解得：，或，（不合題意舍去），

∴P（2，1）．

故存在點P，且為（-1，-8）或（2，1），使得△PAC是以AC為直角邊的直角三角形．