Question

【題目】已知，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，點O是邊AC的中點，連接OB，將△AOB繞點A順時針旋轉α°至△ANM，連接CM，點P是線段CM的中點，連接PB，PN．

（1）如圖1，當α＝180時，請直接寫出線段PN和PB之間滿足的位置和數量關系；

（2）如圖2，當0＜α＜180時，請探索線段PN和PB之間滿足何位置和數量關系？證明你的結論

（3）當△AOB旋轉至C，M，N三點共線時，線段BP的長為　 　．

Answer 1

【答案】（1）PB＝PN，PB⊥PN，理由見解析；（2）PB＝PN，PB⊥PN，理由見解析；（3）±.

【解析】

（1）如圖1中，結論：PB＝PN，PB⊥PN．利用直角三角形斜邊的中線的性質以及圓周角定理解決問題即可．

（2）如圖2中，結論：PB＝PN，PB⊥PN．延長BP到G，使得PG＝PB，連接GM，GN，BN．想辦法證明△BNG是等腰直角三角形即可．

（3）分兩種情形：①如圖3﹣1中，連接BM．證明△ABM是等邊三角形，BP⊥CM即可解決問題．

②如圖3﹣2中，當C，N，M共線時，方法類似①．

解：（1）如圖1中，結論：PB＝PN，PB⊥PN．

理由：當α＝180°時，C，A，N共線，B，A，M共線，

∵∠CNM＝∠CBM＝90°，PC＝PM，

∴PB＝PC＝PM＝PN，

∴C，B，N，M四點共圓，

∴∠BPN＝2∠BMN，

∵∠AMN＝45°，

∴∠BPN＝90°，

∴PB＝PN，PB⊥PN．

（2）如圖2中，結論：PB＝PN，PB⊥PN．

理由：延長BP到G，使得PG＝PB，連接GM，GN，BN．

∵PC＝PM，∠CPB＝∠MPG，PB＝PG，

∴△CPB≌△MPG（SAS），

∴BC＝GM＝AB，∠BCP＝∠GMP＝∠1+45°，

∴∠GMN＝360°﹣∠GMP﹣∠2﹣∠AMN＝360°﹣∠1﹣45°﹣∠2﹣45°＝270°﹣∠1﹣∠2，

∵∠BAN＝45°+∠CAM+45°＝90°+（180°﹣∠1﹣∠2）＝270°﹣∠1﹣∠2，

∴∠NMG＝∠BAN，

∴AB＝MG，AN＝NM，

∴△BAN≌△GMN（SAS），

∴BN＝GN，∠BNA＝∠GNM，

∴∠BNG＝∠ANM＝90°，

∵PB＝PG，

∴PN＝PB＝PG，PN⊥BG，

即PB＝PN，PN⊥PB．

（3）①如圖3﹣1中，連接BM．

當C，M，N共線時，∵∠CNA＝90°，AC＝2AN，

∴∠ACN＝30°，

∵∠NMA＝∠MCA+∠MAC＝45°，

∴∠CAM＝15°，

∵∠MAB＝∠VAM+∠OAB＝60°，

∵AB＝AM，

∴△ABM是等邊三角形，

∴BA＝BM＝BC，

∵PC＝PM，

∴BP⊥CM，

∵AB＝BC＝4，

∴AC＝4，

∴AN＝OA＝2，CN＝AN＝2，

∴CM＝CN﹣MN＝2﹣2，

∴PC＝﹣，

∴PB＝．

②如圖3﹣2中，當C，N，M共線時，同法可證∠ACN＝30°，∠BAN＝15°，∠BAM＝60°，

∴△ABM是等邊三角形，

∴BM＝BA＝BC，

∵PC＝PM，

∴BP⊥CM，

∴PB＝，

綜上所述，滿足條件的BP的值為．

故答案為．