Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，一次函數y＝﹣x+b的圖象與反比例函數y＝﹣在第二象限內的圖象相交于點A，與x軸的負半軸交于點B，與y軸的負半軸交于點C．

（1）求∠BCO的度數；

（2）若y軸上一點M的縱坐標是4，且AM＝BM，求點A的坐標；

（3）在（2）的條件下，若點P在y軸上，點Q是平面直角坐標系中的一點，當以點A、M、P、Q為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）∠BCO＝45°；（2）A(﹣4，1)；（3）點Q坐標為(﹣4，﹣4)或(﹣4，6)或(﹣4，)或(4，1)．

【解析】

（1）證明△OBC是等腰直角三角形即可解決問題；

（2）如圖1中，作MN⊥AB于N．根據一次函數求出交點N的坐標，用b表示點A坐標，再利用待定系數法即可解決問題；

（3）分兩種情形：①當菱形以AM為邊時，②當AM為菱形的對角線時，分別求解即可．

（1）∵一次函數y＝﹣x+b的圖象交x軸于B，交y軸于C，則B(b，0)，C（0，b），

∴OB＝OC＝﹣b，

∵∠BOC＝90°

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠BCO＝45°．

（2）如圖1中，作MN⊥AB于N，

∵M（0，4），MN⊥AC，直線AC的解析式為：y＝﹣x+b，

∴直線MN的解析式為：y＝x+4，

聯立，解得：，

∴N(，)，

∵MA＝MB，MN⊥AB，

∴NA＝BN，設A(m，n)，

則有，解得：，

∴A(﹣4，b+4)，

∵點A在y＝﹣上，

∴﹣4（b+4）＝﹣4，

∴b＝﹣3，

∴A（﹣4，1）；

（3）如圖2中，

由（2）可知A(﹣4，1)，M(0，4)，

∴AM＝＝5，

當菱形以AM為邊時，AQ＝AQ′＝5，AQ∥OM，可得Q(﹣4，﹣4)，Q′(﹣4，6)，

當A，Q關于y軸對稱時，也滿足條件，此時Q(4，1)，

當AM為菱形的對角線時，設P″(0，b)，

則有（4﹣b）2＝42+（b﹣1）2，

∴b＝﹣．

∴AQ″＝MP″＝，

∴Q″(﹣4，)，

綜上所述，滿足條件的點Q坐標為(﹣4，﹣4)或(﹣4，6)或(﹣4，)或(4，1)．