Question

【題目】如圖，是等邊三角形，為上兩點，且，延長至點，使，連接．

（1）如圖1，當兩點重合時，求證：；

（2）延長與交于點．

①如圖2，求證：；

②如圖3，連接，若，則的面積為______________．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②2．

【解析】

（1）當D、E兩點重合時，則AD=CD，然后由等邊三角形的性質可得∠CBD的度數，根據等腰三角形的性質和三角形的外角性質可得∠F的度數，于是可得∠CBD與∠F的關系，進而可得結論；

（2）①過點E作EH∥BC交AB于點H，連接BE，如圖4，則易得△AHE是等邊三角形，根據等邊三角形的性質和已知條件可得EH=CF，∠BHE=∠ECF=120°，BH=EC，于是可根據SAS證明△BHE≌△ECF，可得∠EBH=∠FEC，易證△BAE≌△BCD，可得∠ABE=∠CBD，從而有∠FEC=∠CBD，然后根據三角形的內角和定理可得∠BGE=∠BCD，進而可得結論；

②易得∠BEG=90°，于是可知△BEF是等腰直角三角形，由30°角的直角三角形的性質和等腰直角三角形的性質易求得BE和BF的長，過點E作EM⊥BF于點F，過點C作CN⊥EF于點N，如圖5，則△BEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性質和30°角的直角三角形的性質可依次求出BM、MC、CF、FN、CN、GN的長，進而可得△GCN也是等腰直角三角形，于是有∠BCG=90°，故所求的△BCG的面積=，而BC和CG可得，問題即得解決．

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，

當D、E兩點重合時，則AD=CD，∴，

∵，∴∠F=∠CDF，

∵∠F+∠CDF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，

∴∠CBD=∠F，∴；

（2）①∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，

過點E作EH∥BC交AB于點H，連接BE，如圖4，則∠AHE=∠ABC=60°，∠AEH=∠ACB=60°，

∴△AHE是等邊三角形，∴AH=AE=HE，∴BH=EC，

∵，CD=CF，∴EH=CF，

又∵∠BHE=∠ECF=120°，∴△BHE≌△ECF（SAS），

∴∠EBH=∠FEC，EB=EF，

∵BA=BC，∠A=∠ACB=60°，AE=CD，

∴△BAE≌△BCD（SAS），∴∠ABE=∠CBD，∴∠FEC=∠CBD，

∵∠EDG=∠BDC，∴∠BGE=∠BCD=60°；

②∵∠BGE=60°，∠EBD=30°，∴∠BEG=90°，

∵EB=EF，∴∠F=∠EBF=45°，

∵∠EBG=30°，BG=4，∴EG=2，BE=2，

∴BF=，，

過點E作EM⊥BF于點F，過點C作CN⊥EF于點N，如圖5，則△BEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形，

∴，

∵∠ACB=60°，∴∠MEC=30°，∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，∴∠GCF=90°=∠GCB，

∴，

∴△BCG的面積=．

故答案為：2．