Question

新課標下初中數學教材要求學生通過畫圖操作得出如下結論：
（1）三角形的三條角平分線相交于一點；
（2）三角形的三條中線相交于一點；
（3）三角形的三條高相交于一點．
顯然教師不應停留在實驗幾何的水平，請你從上述三個命題中選擇一個，給出證明．

Answer 1

分析：設△ABC的∠ABC的角平分線BE和∠ACB的角平分線CF交于點O，過O作OH⊥BC于H，OG⊥AC于G，OD⊥AB于D，由O在∠ABC的角平分線BE上，OD⊥AB，OH⊥BC，根據角平分線的性質得到OD=OH，同理OH=OG，即可推出OD=OG，即點O也在∠BAC的角平分線上，即可得到答案．

解答：選（1）．
證明：設△ABC的∠ABC的角平分線BE和∠ACB的角平分線CF交于點O，過O作OH⊥BC于H，OG⊥AC于G，OD⊥AB于D，
∵O在∠ABC的角平分線BE上，OD⊥AB，OH⊥BC，
∴OD=OH，
同理OH=OG，
∴OD=OG，
∵OG⊥AC，OD⊥AB，
∴點O在∠BAC的角平分線上，
即：三角形的三條角平分線相交于一點．

點評：本題主要考查了三角形的五心，角平分線的性質等知識點，解此題的關鍵是設O是∠ABC和∠ACB的角平分線交于一點，證出O也在∠BAC的角平分線上．