Question

【題目】如圖：在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延長線上截取CG=AB，連接AD、AG．
（1）求證：AD=AG；
（2）AD與AG的位置關系如何，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，

∴∠HFB=∠HEC=90°，又∵∠BHF=∠CHE，

∴∠ABD=∠ACG，

在△ABD和△GCA中

，

∴△ABD≌△GCA（SAS），

∴AD=GA（全等三角形的對應邊相等）

（2）證明：位置關系是AD⊥GA，

理由為：∵△ABD≌△GCA，

∴∠ADB=∠GAC，

又∵∠ADB=∠AED+∠DAE，∠GAC=∠GAD+∠DAE，

∴∠AED=∠GAD=90°，

∴AD⊥GA．

【解析】（1）由BE垂直于AC，CF垂直于AB，利用垂直的定義得∠HFB=∠HEC，由得對頂角相等得∠BHF=∠CHE，所以∠ABD=∠ACG．再由AB=CG，BD=AC，利用SAS可得出三角形ABD與三角形ACG全等，由全等三角形的對應邊相等可得出AD=AG，（2）利用全等得出∠ADB=∠GAC，再利用三角形的外角和定理得到∠ADB=∠AED+∠DAE，又∠GAC=∠GAD+∠DAE，利用等量代換可得出∠AED=∠GAD=90°，即AG與AD垂直．