Question

如圖，已知：在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，P是AB上不與A、B重合的一動點，PQ⊥BC于Q，QR⊥AC于R．
（1）求證：PQ=BQ；
（2）設BP的長為x，QR的長為y，求y與x之間的函數關系式，并寫出函數的定義域；
（3）PR能否平行于BC？如果能，試求出x的值；若不能，請簡述理由．

Answer 1

分析：（1）若證明PQ=BQ，則問題可轉化為證明∠B=∠BPQ即可，
（2）利用勾股定理得到BQ和PQ的長，又因為BQ²+PQ²=BP²，BP=x，把BQ和PQ代入等式化簡即可得到y與x之間的函數關系式，
（3）PR能平行于BC，只要證明AP=AR，即可求出x的值．

解答：（1）證明：∵∠A=90°，AB=AC=6，
∴∠B=∠C=45°，BC=

62+62

=6

2

，
∵PQ⊥BC，
∴∠PQB=90°，
∴∠BPQ=45°，
∴∠B=∠BPQ，
∴PQ=BQ；

（2）∵QR⊥AC，
∴∠QRC=90°，
∵∠C=45°，
∴∠RQC=45°，
∴∠C=∠RQC，
∴RQ=RC=y，
∴QC=

2

y，
∴BQ=6

2

-

2

y，
∴PQ=6

2

-

2

y，
∵BQ²+PQ²=BP²，BP=x，
∴(6

2

-

2

y)2+(6

2

-

2

y)2=x2，
∴y=6-

x

2

（0＜x＜6）；

（3）PR能平行于BC．
理由如下：
∵PR∥BC，
∴∠APR=∠ARP，
∴AP=AR，
∴6-x=6-y6-x=6-(6-

x

2

)，
∴x=4．

點評：本題考查了勾股定理的運用、等腰三角形的判定和性質、平行線的判定和性質以及列函數關系式，題目的難度中等．