Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D為圓心，3為半徑作⊙D，E為⊙D上一動點，連接AE，以AE為直角邊作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝ ，則點F與點C的最小距離為_____．

Answer 1

【答案】3﹣1　．

【解析】

如圖，取AB的中點G，連接FG，根據已知條件易證△AFG∽△EAD，根據相似三角形的性質求得FG=1；即可得點F在以點G為圓心，半徑為1的圓上，所以當點F在線段GC上時，點F與點C的距離最小，由此即可求得點F與點C的最小距離.

如圖，取AB的中點G，連接FG，

∵AB=4，AD=6，

∴AG=2，；

在Rt△AEF，∠EAF＝90°，tan∠AEF＝ ，

∴,

∴,

∵∠EAF＝∠BAD＝90°，

∴∠FAG＝∠EAD，

∴△AFG∽△EAD，

∴,

∵DE=3,

∴FG=1；

∵點E為⊙D上一動點，

∴點F在以點G為圓心，半徑為1的圓上，

∴當點F在線段GC上時，點F與點C的距離最小，

在Rt△GBC中，BC=6，GB=3，由勾股定理求得GC=3，

∴FC=3﹣1．

即點F與點C的最小距離為3﹣1．

故答案為：3﹣1．