Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D．
（1）尺規作圖：（保留作圖痕跡，不寫作法）
①作△ABC外角∠CAM的平分線AN．
②過C作CE⊥AN，垂足為點E．
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明．

Answer 1

（1）如圖，AN、CE分別為所求；

（2）當△ABC滿足∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形．理由如下：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC．
∵由作圖知AN是△ABC外角∠CAM的平分線，
∴∠MAN=∠CAN．
∴∠DAN=∠DAC+∠CAN=

1

2

×180°=90°．
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四邊形ADCE為矩形．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=∠B=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴DC=AD，
∴矩形ADCE是正方形．