Question

【題目】定義：如圖1，點M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的勾股分割點．

（1）已知點M，N是線段AB的勾股分割點，若AM=2，MN=3，求BN的長；

（2）如圖2，在△ABC中，FG是中位線，點D，E是線段BC的勾股分割點，且EC＞DE≥BD，連接AD，AE分別交FG于點M，N，求證：點M，N是線段FG的勾股分割點；

（3）已知點C是線段AB上的一定點，其位置如圖3所示，請在BC上畫一點D，使點C，D是線段AB的勾股分割點（要求尺規作圖，保留作圖痕跡，畫一種情形即可）；

（4）如圖4，已知點M，N是線段AB的勾股分割點，MN＞AM≥BN，△AMC，△MND和△NBE均為等邊三角形，AE分別交CM，DM，DN于點F，G，H，若H是DN的中點，試探究，和的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BN=或；（2）；（3）；（4）．

【解析】

試題分析：（1）①當MN為最大線段時，由勾股定理求出BN；②當BN為最大線段時，由勾股定理求出BN即可；

（2）先得出點M、N分別是AD、AE的中點，得出BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，求出，得出，即可得出結論；

（3）在AB上截取CE=CA；作AE點垂直平分線，截取CF=CA；作BF的垂直平分線，交AB于D即可；

（4）先證明△DGH≌△NEH，得出DG=EN=b，MG=c﹣b，再證明△AGM∽△AEN，得出比例式，得出，證出，得出a=b，證出△DGH≌△CAF，得出，證出，即可得出結論．

試題解析：（1）①當MN為最大線段時，∵點 M、N是線段AB的勾股分割點，∴BN===；

②當BN為最大線段時，∵點M、N是線段AB的勾股分割點，∴BN===；

綜上所述：BN=或；

（2）∵FG是△ABC的中位線，∴FG∥BC，∴=1，∴點M、N分別是AD、AE的中點，∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，∵點D、E是線段BC的勾股分割點，且EC＞DE≥BD，∴，∴，∴，∴點M、N是線段FG的勾股分割點；

（3）作法：①在AB上截取CE=CA；

②作AE點垂直平分線，并截取CF=CA；

③連接BF，并作BF的垂直平分線，交AB于D；

點D即為所求；如圖所示：

（4）．理由如下：

設AM=a，BN=b，MN=c，∵H是DN的中點，∴DH=HN=，∵△MND、△BNE均為等邊三角形，∴∠D=∠DNE=60°，在△DGH和△NEH中，∵∠D=∠DNE，DH=HN，∠DHG=∠NHE，∴△DGH≌△NEH（ASA），∴DG=EN=b，∴MG=c﹣b，∵GM∥EN，∴△AGM∽△AEN，∴，∴，∵點 M、N是線段AB的勾股分割點，∴，∴，又∵，∴a=b，在△DGH和△CAF中，∵∠D=∠C，DG=CA，∠DGH=∠CAF，∴△DGH≌△CAF（ASA），∴，∵，∴，∴，∵，，∴．