Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝x+4與y＝kx+4分別交x軸于點A、B，兩直線交于y軸上同一點C，點D的坐標為(﹣，0)，點E是AC的中點，連接OE交CD于點F．

（1）求點F的坐標；

（2）若∠OCB＝∠ACD，求k的值；

（3）在（2）的條件下，過點F作x軸的垂線1，點M是直線BC上的動點，點N是x軸上的動點，點P是直線l上的動點，使得以B，P，M、N為頂點的四邊形是菱形，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）F(﹣1，1)；（2）﹣2；（3）P的坐標為(﹣1，)或(﹣1，)或(﹣1，﹣6)

【解析】

（1）求出直線OE，直線CD的解析式，構建方程組即可解決問題．

（2）如圖2中，將線段DC繞點D順時針旋轉90°得到DT，作直線CT交x軸于B．證明∠ACO＝∠DCB＝45°，即可推出∠ACD＝∠OCB，求出點T的坐標，利用待定系數法即可解決問題．

（3）如圖3中，分三種情形：當四邊形BN1P1M1是菱形時，當四邊形BN2P2M2是菱形時，當四邊形BP3N3M3是菱形時，分別求解即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

∵直線y＝x+4交x軸于A，交y軸于C，

∴A（﹣4，0），C（0，4），

∵AE＝EC，

∵E（﹣2，2），

∴直線OE的解析式為y＝﹣x，

∵

∴直線CD的解析式為y＝3x+4，

由，解得

∴F（﹣1，1）．

（2）如圖2中，將線段DC繞點D順時針旋轉90°得到DT，作直線CT交x軸于B．

∵DC＝DT，∠CDT＝90°，

∴∠DCT＝45°，

∵OA＝OC，∠AOC＝90°，

∴∠ACO＝∠DCT＝45°，

∴∠ACD＝∠OCB，

∵

把代入y＝kx+4，得到k＝﹣2．

（3）如圖3中，

當四邊形BN1P1M1是菱形時，連接BP1交OC于K，作KH⊥BC于H．

∵∠KBO＝∠KBH，KO⊥OB，KH⊥BC，

∴KO＝KH，

∵BK＝BK，∠KOB＝∠KHB＝90°，

∴Rt△KBO≌Rt△KBH（HL），

∴BO＝BH＝2，設OK＝KH＝x，

∵

∴

在Rt△CHK中，CK2＝KH2+CH2，

∴

∴

∴直線BK的解析式為

當x＝﹣1時，

∴

當四邊形BN2P2M2是菱形時，可得直線BP2的解析式為

當x＝﹣1時，

∴

當四邊形BP3N3M3是菱形時，M3在直線x＝﹣1時

∴M3（﹣1，6），

∵P3與M3關于x軸對稱，

∴P3（﹣1，﹣6）．

綜上所述，滿足條件的點P的坐標為或或（﹣1，﹣6）．