Question

【題目】如圖，長方形OABC的頂點A、C、O都在坐標軸上，點B的坐標為（9，4），E為BC邊上一點，CE=6．

（1）求點E的坐標和△ABE的周長；

（2）若P是OA上的一個動點，它以每秒1個單位長度的速度從點O出發沿射線OA運動，設點P運動的時間為t秒（t＞0）．

①當t為何值時，△PAE的面積等于△PCE的面積的一半；

②當t為何值時，△PAE為直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）12；(2)①6或12秒；②6或秒.

【解析】

試題分析：（1）根據長方形OABC中，點B的坐標為（9，4），求得CB=9，CO=4=AB，即可得出CE=6，再根據勾股定理求得AE的長，即可得到△ABE的周長；

（2）①分兩種情況討論：P在OA之間時，P在OA的延長線上時，分別根據△PAE的面積等于△PCE的面積的一半，列出關于t的方程，求得t的值即可；

②分三種情況討論：當∠PEA=90°時，當∠PAE=90°時，∠EPA=90°時，分別求得t的值并判斷是否符合題意即可．

試題解析：（1）如圖，∵長方形OABC中，點B的坐標為（9，4），

∴CB=9，CO=4=AB，

又∵CE=6，

∴E（6，4），BE=3，

∵∠B=90°，

∴Rt△ABE中，AE==5，

∴△ABE的周長：3+4+5=12；

（2）①∵OP=1×t=t，

∴AP=9﹣t，

∵△PAE的面積等于△PCE的面積的一半，

∴當P在OA之間時，

∵×AP×AB=×CE×CO×，

∴（9﹣t）×4=6×4×，

解得t=6；

當P在OA的延長線上時，

∵×AP×AB=×CE×CO×，

∴（t﹣9）×4=6×4×，

解得t=12，

綜上所述，當t為6或12秒時，△PAE的面積等于△PCE的面積的一半；

②如圖，當∠PEA=90°時，△PAE為直角三角形，過點P作PF⊥BC于F，則

CF=OP=t，EF=6﹣t，BF=6﹣t+3=9﹣t=AP，

由勾股定理可得，，

即，

∴，

解得t=；

當∠EPA=90°時，△PAE為直角三角形，EP⊥OA，

此時，PE=OC=4，

∴Rt△APE中，AP==3，

∴OP=9﹣3=6，

∴t=6；

∵EA與AP不垂直，

∴∠PAE不可能為直角；

綜上所述，當t為6或秒時，△PAE為直角三角形．