Question

【題目】某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度為6米，底部寬度OM為12米. 現以O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系.

（1）直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標；

（2）求這條拋物線的解析式；

（3）若要搭建一個矩形“支撐架”AD- DC- CB，使C、D點在拋物線上，A、B點在地面OM上，則這個“支撐架”總長的最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1） M（12，0） ，P（6，6）；

（2）；

（3）當m=3時，AD+DC+CB有最大值為15米.

【解析】試題分析：（1）根據所建坐標系易求M、P的坐標；

（2）可設解析式為頂點式，把O點（或M點）坐標代入求待定系數求出解析式；

（3）總長由三部分組成，根據它們之間的關系可設A點坐標為（m，0），用含m的式子表示三段的長，再求其和的表達式，運用函數性質求解．

試題解析：（1）M（12，0），P（6，6）．

設拋物線解析式為：

y=a（x-6）2+6

∵拋物線y=a（x-6）2+6經過點（0，0）

∴0=a（0-6）2+6，即a=-

∴拋物線解析式為：y=-（x-6）2+6，即y=-x2+2x．

設A（m，0），則B（12-m，0），C（12-m，-m2+2m），D（m，-m2+2m）．

∴“支撐架”總長AD+DC+CB=（-m2+2m）+（12-2m）+（-m2+2m）

=-m2+2m+12

=-（m-3）2+15．

當m=3時，有最大值為15.

故這個“支撐架”總長的最大值是15.