Question

【題目】如圖，已知拋物線經過，，對稱軸為直線．

（1）求該拋物線和直線的解析式；

（2）點是直線上方拋物線上的動點，設點的橫坐標為，試用含的代數式表示的面積，并求出面積的最大值；

（3）設P點是直線上一動點，為拋物線上的點，是否存在點，使以點、、P、為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，請直接寫出符合條件的所有點坐標，不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），當時，有最大值為4；（3）存在，坐標或或．

【解析】

（1）根據拋物線的對稱性求得點B坐標，然后利用待定系數法分別求函數解析式即可；

（2）設點坐標，過作軸，交直線于點，則坐標為，然后根據三角形面積公式求得，從而用二次函數的性質求得其最值；

（3）利用平行四邊形的性質，分四邊形CPMB是平行四邊形時，BN=PK=1；四邊形CMPB是平行四邊形時，CN=BO-1=3；四邊形CPBM是平行四邊形時，BN=OP=1三種情況確定M點橫坐標，從而代入二次函數解析式求M點坐標．

解：（1）∵，對稱軸為直線．

∴

設二次函數解析式為

將C（0，2）代入解析式，得，解得

∴

∴拋物線解析式為：，

設直線BC的解析式為

將B（4，0）、C（0，2）代入解析式，得

，解得

∴直線解析式為

（2）過作軸，交直線于點，

設點坐標，則坐標為

∴

∴

∵a=-1＜0

∴當時，有最大值為4．

（3）存在

設M點坐標為

如圖，過點M作MN⊥x軸，過點P作PK⊥y軸，

①當四邊形CPMB是平行四邊形時，BN=PK=1

∴a=5

∴

∴此時M點坐標為（5，-3）

②當四邊形CMPB是平行四邊形時，CN=BO-1=3

∴a=-3

∴

∴此時M點坐標為（-3，-7）

③當四邊形CPBM是平行四邊形時，BN=OP=1

∴a=3

∴

∴此時M點坐標為（3，2）

綜上所述，坐標為或或．