Question

【題目】如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)為對角線的中點(diǎn)．

（1）問題解決：如圖①，連接，分別取，的中點(diǎn)，，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是_____，位置關(guān)系是____；

（2）問題探究：如圖②，是將圖①中的繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的三角形，連接，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，．判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；

（3）拓展延伸：如圖③，是將圖①中的繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的三角形，連接，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，．若正方形的邊長為1，求的面積．

Answer 1

【答案】（1），；（2）的形狀是等腰直角三角形，理由見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)題意可得PQ為△BOC的中位線，再根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求解；

（2）連接并延長交于點(diǎn)，根據(jù)題意證出，為等腰直角三角形，也為等腰直角三角形，由且可得是等腰直角三角形；

（3）延長交邊于點(diǎn)，連接，．證出四邊形是矩形，為等腰直角三角形，，再證出為等腰直角三角形，根據(jù)圖形的性質(zhì)和勾股定理求出O′A，O′B和BQ的長度，即可計(jì)算出的面積．

解：（1）∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別為，的中點(diǎn)，

∴PQ為△BOC的中位線，

∵四邊形是正方形，

∴AC⊥BO，

∴，；

故答案為：，；

（2）的形狀是等腰直角三角形．理由如下：

連接并延長交于點(diǎn)，

由正方形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)可得，∠，

是等腰直角三角形，，．

∴，．

又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴．

∴．

∴，．

∴，∴．

∴為等腰直角三角形．

∴，．

∴也為等腰直角三角形．

又∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，

∴，且．

∴的形狀是等腰直角三角形．

（3）延長交邊于點(diǎn)，連接，．

∵四邊形是正方形，是對角線，

∴．

由旋轉(zhuǎn)得，四邊形是矩形，

∴，．

∴為等腰直角三角形．

∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，

∴，，．

∴．

∴，．

∴．

∴．

∴為等腰直角三角形．

∵是的中點(diǎn)，

∴，．

∵，

∴，，

∴．

∴．