Question

【題目】如圖，已知拋物線經過坐標原點，與軸的另一個交點為，且頂點坐標為.

（1）求拋物線解析式.

（2）將拋物線向右平移個單位，所得拋物線與軸交于兩點，與原拋物線交于點，設的面積為，求關于的函數關系式.

（3）如圖②，以點為圈心，以線段為半徑畫圓，交拋物線的對稱軸于點，連結，若將拋物線向右平移個單位后，點的對應點為，點的對應點為，且滿足四邊形為菱形，平移后的拋物線的對稱軸與菱形的對角線交于點問：在軸上是否存在一點，使得以，為頂點的三角形與相似？若存在，求出F點坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）二次函數解析式為；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）根據題意設出頂點式，根據拋物線經過原點可得拋物線的解析式；

（2）根據將拋物線向右平移m個單位得到平移后的解析式，將兩個解析式聯立成一個方程組，解此方程組得P點的縱坐標，即可得的高，而底邊CD的長根據原拋物線可知，然后分情況討論，三角形面積可求；

（3）畫出圖形，根據圓和菱形的性質得出△BAE是直角三角形，若△BAE∽△A′EF，則△A′EF也是直角三角形，故可求A′F，則F坐標可求．

（1）拋物線的頂點坐標為，

設二次函數解析式為

拋物線經過坐標原點，

把代入可得：

拋物線解析式為；

（2）現將拋物線向右平移m（m＞0）個單位，所得拋物線解析式為：

，

原拋物線與平移后的拋物線交于P點，則有，

解得：，

即P點坐標為：（，），

由題意知A點坐標為，即CD=2，

當時，P點在x軸上方，，

當時，P點在x軸下方，，

綜上所述，關于的函數關系式為：；

（3）如圖，四邊形BAA′B′為菱形，則有菱形的邊長就是圓的半徑為2，

B點的縱坐標為：，

那么tan∠BA′A＝，

故∠BA′A＝∠A′BA＝30°，

∵A，A’關于平移后的對稱軸對稱，且點E在對稱軸上，

∴∠BA′A＝∠EAA′＝30°，A′E＝AE＝，

∴∠BEA=∠BA′A+∠EAA′=60°，

∴∠BAE＝90°，

當△BAE∽△AFE時，此時F點就是平移后的拋物線對稱軸與x軸的交點，即F（3,0），

當△BAE∽△AEF時，則，即，

∴EF=，

∴，

∴OF=，即F（,0），

綜上所述，以，為頂點的三角形與相似時，F點坐標為：（3,0）或（,0）.