Question

【題目】已知：在中，作對角線的垂直平分線，垂足為點，分別交，于點，，連接，．

（1）如圖1，求證：四邊形是菱形；

（2）如圖2，當，且時，在不添加任何輔助線情況下，請直接寫出圖2中的四條線段，使寫出的每條線段長度都等于長度的倍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），，，

【解析】

（1）證明，得到OE=OF，再結合OB=OD得出結論；

（2）證明Rt△ABE≌Rt△OBE，AB=OB，∠ABE=∠OBE=∠OBF，從而推出∠OBE=30°，再根據直角三角形的性質以及矩形和菱形的性質得到OB=OE=OD=AB=CD即可.

解：（1）證明：如圖1，∵四邊形是平行四邊形，

∴

∴，

在和中，

，

∴（ASA），

∴，

又∵，

∴四邊形是平行四邊形，

又∵，

∴為菱形；

（2）如圖2，，，，，

∵AE=OF，四邊形BFDE為菱形，

∴OE=OF=AE，∠EOB=90°，

在Rt△ABE和Rt△OBE中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△OBE（HL），

∴AB=OB，∠ABE=∠OBE=∠OBF，

∵∠ABC=90°，

∴∠OBE=30°，

∴2OE=BE，

∴OB=OE=OD=AB=CD，

故答案為：OB，OD，AB，CD.