Question

【題目】如圖，一條頂點(diǎn)坐標(biāo)為的拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0，5)．與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè))，有一寬度為1．長崖足夠的矩形(陰影部分)沿x軸方向平移，與y軸平行的一組對邊交拋物線于點(diǎn)P和點(diǎn)Q(點(diǎn)P在點(diǎn)Q右側(cè))，交直線AC于點(diǎn)M和點(diǎn)N(點(diǎn)M在點(diǎn)N右側(cè))，交x軸于點(diǎn)E和點(diǎn)F(點(diǎn)E在點(diǎn)F右側(cè))

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)M和點(diǎn)N都在線段AC上時，連接MF，如果，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)在矩形平移的過程中，當(dāng)以點(diǎn)P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），或

【解析】

（1）設(shè)拋物線為 y＝a(x＋1)2＋，把點(diǎn)（0，5）代入即可解決問題．

（2）作FD⊥AC于D，設(shè)AF＝m，則MF＝m，ME＝AE＝m＋1，列出方程求出m的值即可解決問題．

（3）設(shè)F（t，0），E（t＋1，0），N（t，t＋5），M（t＋1，t＋6），Q(t，)，P(t＋1，)．①當(dāng)MN是對角線時，由QN＝PM，列出方程即可解決問題．②點(diǎn) Q，P在直線 AC異側(cè)時，QN＝MP，解方程即可．

（1）根據(jù)題意，拋物線頂點(diǎn)為(1，)，

設(shè)拋物線為 y＝a(x＋1)2＋．

拋物線過點(diǎn) C（0，5），代入得5=a(0＋1)2＋

解得a＝，

拋物線解析式為y＝ (x＋1)2＋＝．

（2）令y=0,即=0，

解得x1=-5,x2=3

∴A（5，0），B（3，0）．

如圖，作FD⊥AC于D，

∵OA＝5，OC＝5，

∴∠CAO＝45．

設(shè)AF＝m，則MF＝m，ME＝AE＝m＋1．

在△MEF中，FM2＝ME2＋EF2，

∴(m)2＝(m＋1)2＋12，

解得m1＝2，m2＝（不符合題意，舍去）．

∴AF＝2，

∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為3．

又點(diǎn)Q在拋物線 y＝ (x＋1)2＋上，

當(dāng)x=-3時，y=4

∴Q（3，4），

（3）設(shè)直線 AC的解析式 y＝kx＋n，把A（5，0），C（0，5）代入得

解得：

∴直線 AC的解析式 y＝x＋5．

由已知，點(diǎn) Q，N，F及點(diǎn) P，M，E橫坐標(biāo)分別相同．

設(shè)F（t，0），E（t＋1，0），N（t，t＋5），M（t＋1，t＋6），Q(t，)，P(t＋1，)．

在矩形平移過程中，以P，Q，N，M為頂點(diǎn)的平行四邊形有兩種情況：

①點(diǎn)Q，P在直線 AC同側(cè)時，QN＝PM．

∴()(t＋5)＝()(t＋6)，

解得：t＝3．

∴M（2，3）．

②點(diǎn) Q，P在直線 AC異側(cè)時，QN＝MP．

∴()(t＋5)＝(t＋6)( )，

解得 t1＝3＋，t2＝3，

∴M(2＋，3＋)，或(2，3)．

∴符合條件的點(diǎn)M是（2，3），(2＋，3＋)，或(2，3)．