Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB＝BC，點D、E分別在邊BC，AC上，連接DE，且DE＝DC．

（1）問題發現：若∠ACB＝∠ECD＝45°，則＝　　．

（2）拓展探究：若∠ACB＝∠ECD＝30°，將△EDC饒點C按逆時針旋轉α度（0°＜α＜180°），圖2是旋轉過程中的某一位置，在此過程中的大小有無變化？如果不變，請求出的值，如果變化，請說明理由；

（3）問題解決：若∠ABC＝∠EDC＝β（0°＜β＜90°），將△EDC旋轉到如圖3所示的位置時，則的值為　　．（用含β的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）；（2）不變化，理由詳見解析；（3）2cosβ．

【解析】

（1）如圖1，過E作EF⊥AB于F，根據等腰三角形的性質得到∠A＝∠C＝∠DEC＝45°，于是得到∠B＝∠EDC＝90°，推出四邊形EFBD是矩形，得到EF＝BD，推出△AEF是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得到結論；

（2）根據等腰三角形的性質得到∠ACB＝∠CAB＝∠ECD＝∠CED＝30°，根據相似三角形的判定和性質即可得到結論；

（3）根據等腰三角形的性質得到∠ACB＝∠CAB＝∠ECD＝∠CED＝β，根據相似三角形的性質得到，即，根據角的和差得到∠ACE＝∠BCD，求得△ACE∽△BCD，證得，過點B作BF⊥AC于點F，則AC＝2CF，根據相似三角形的性質即可得到結論．

解：（1）如圖1，過E作EF⊥AB于F，

∵BA＝BC，DE＝DC，∠ACB＝∠ECD＝45°，

∴∠A＝∠C＝∠DEC＝45°，

∴∠B＝∠EDC＝90°，

∴四邊形EFBD是矩形，

∴EF＝BD，

∴EF∥BC，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴，

故答案為：；

（2）此過程中的大小有變化，

由題意知，△ABC和△EDC都是等腰三角形，

∴∠ACB＝∠CAB＝∠ECD＝∠CED＝30°，

∴△ABC∽△EDC，

∴，即，

又∠ECD+∠ECB＝∠ACB+∠ECB，

∴∠ACE＝∠BCD，

∴△ACE∽△BCD，

∴，

在△ABC中，如圖2，過點B作BF⊥AC于點F，

則AC＝2CF，

在Rt△BCF中，CF＝BCcos30°＝BC，

∴AC＝BC．

∴＝；

（3）由題意知，△ABC和△EDC都是等腰三角形，且∠ACB＝∠ECD＝β，

∴∠ACB＝∠CAB＝∠ECD＝∠CED＝β，

∴△ABC∽△EDC，

∴，即，

又∠ECD+∠ECB＝∠ACB+∠ECB，

∴∠ACE＝∠BCD，

∴△ACE∽△BCD，

∴，

在△ABC中，如圖3，過點B作BF⊥AC于點F，則AC＝2CF，

在Rt△BCF中，CF＝BCcosβ，

∴AC＝2BCcosβ．

∴＝2cosβ，

故答案為2cosβ．