Question

（本題滿分12分）如圖（1），矩形ABCD的一邊BC在直角坐標系中x軸上，折

疊邊AD,使點D落在x軸上點F處，折痕為AE，已知AB=8，AD=10，并設點B坐標為（m,0），其中m＞0.

1.（1）求點E、F的坐標（用含m的式子表示）；

2.（2）連接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；

3.（3）如圖（2），設拋物線經過A、E兩點，其頂點為M，連接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值.

 

Answer 1

 

1.解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=10，AB=CD=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°．

由折疊對稱性：AF=AD=10，FE=DE．

在Rt△ABF中，BF=．∴FC=4. 

設FE=DE=x，在Rt△ECF中，4²+（8-x）²=x²，解得x=5，CE=8-x=3．

∵B（m，0），    ∴E(m+10，3)，F（m+6，0）．

2.（2）分三種情形討論：

若AO=AF，∵AB⊥OF，∴OB=BF=6，∴m=6． 

若FO=FA，則m+6=10，解得m=4．

若OA=OF，在Rt△AOB中，，

∴，解得m=．     

綜上所述：m=6或4或

3.（3）由（1）知A(m,8)，E(m+10,3)，由題意得，

，解得               

∴M（m＋6，－1）．設拋物線的對稱軸交AD于G．

∴G（m+6,8），∴AG=6，GM=9．

∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，∴∠OAB=∠MAG．

又∵∠ABO=∠MGA=90°， ∴△AOB∽△AMG．

解析:略