Question

【題目】如圖，對稱軸為x=1的拋物線經過A（﹣1，0），B（4，5）兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P為直線AB上的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q．

①當PQ=6時，求點P的坐標；

②是否存在點P，使以A、P、Q為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）①當PQ=6時，點P的坐標（1，2），（2，3），（﹣2，﹣1），（5，6）；②存在點P，使以A、P、Q為頂點的三角形為等腰三角形，點P的坐標為P（4+，5+）或（4﹣，5﹣）或（4，5）或（3.4）．

【解析】

試題分析：（1）根據題意確定拋物線與x軸的另一個交點，然后根據待定系數法即可求得；

（2）①先求得直線AB的解析式，設P（m，m+1），Q（m，m2﹣2m﹣3），則PQ=|m+1﹣m2+2m+3|=6，然后分m2﹣3m﹣4=﹣6或m2﹣3m﹣4=6兩種情況求得m的值，從而求得P點的坐標；

②由勾股定理，得PA2=（m+1）2+（m+1）2；PQ2=[m+1﹣（m2﹣2m﹣3）]2，AQ2=（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2．然后分PA=PQ、PA=AQ、AQ=AP三種情況列出關于m的方程，解方程求得m的值，即可求得P點的坐標．

解：（1）對稱軸為x=1的拋物線經過A（﹣1，0），得C（3，0），

設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，將A、B、C點坐標代入，得

，

解得，

設拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3；

（2）①直線AB的解析式為y=x+1，設P（m，m+1），Q（m，m2﹣2m﹣3），

PQ=|m+1﹣m2+2m+3|=6，

當m2﹣3m﹣4=﹣6，

解得m=1，m=2，

∴P（1，2）或（2，3）；

當m2﹣3m﹣4=6，解得m=﹣2，m=5，

∴P（﹣2，﹣1）或（5，6）；

綜上所述：當PQ=6時，點P的坐標（1，2），（2，3），（﹣2，﹣1），（5，6）；

（3）∵A（﹣1，0），P（m，m+1），Q（m，m2﹣2m﹣3），由勾股定理，得

PA2=（m+1）2+（m+1）2；PQ2=[m+1﹣（m2﹣2m﹣3）]2，AQ2=（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2．

①當PA=PQ時，（m+1）2+（m+1）2=[m+1﹣（m2﹣2m﹣3）]2，化簡，得（m+1）2[（m﹣4）2﹣2]=0．

于是，得（m﹣4）2﹣2=0，m+1=0．

解得m1=4+，m2=4﹣，m3=﹣1，

∵當m=﹣1時，P點與A點重合，

∴P1（4+，5+），P2（4﹣，5﹣）；

②當PA=AQ時，（m+1）2+（m+1）2=（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2，化簡，得（m+1）2（m﹣3﹣1）2=0，

于是，得（m﹣4）2=0，解得m4=4，m5=﹣1，

∴P3（4，5）；

③當AQ=AP時，（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2=[m+1﹣（m2﹣2m﹣3）]2，化簡，得（m+1）2[（m﹣4）2﹣2]=0．

于是，得（m2﹣2m﹣3）2=0．m+1=0，

解得m6=3，m7=﹣1，

∴P（3，4）；

綜上，存在點P，使以A、P、Q為頂點的三角形為等腰三角形，點P的坐標為P（4+，5+）或（4﹣，5﹣）或（4，5）或（3.4）．