Question

【題目】如圖，點(diǎn)O在邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD的AD邊上運(yùn)動(dòng)(4<C)A<8)，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓，交CD于點(diǎn)E，連接OE、AE，過(guò)點(diǎn)E作直線EF交BC于 點(diǎn)F，且∠CEF＝2∠DAE．

(1)求證：直線EF為⊙O的切線；

(2)在點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)DE＝x，解決下列問(wèn)題：

①求OD·CF的最大值，并求此時(shí)半徑的長(zhǎng)；

②試猜想并證明△CEF的周長(zhǎng)為定值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）16，5；證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）由OA=OB得∠OAE=∠OEA，則根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠DOE=2∠DAE，由于∠CEF=2∠DAE，則∠CEF=∠DOE，加上∠DOE+∠DEO=90°，則∠CEF+∠DEO=90°，所以∠OEF=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得到直線EF為⊙O的切線；

（2）由于∠CEF=∠DOE，根據(jù)三角形相似的判定得到Rt△DOE∽Rt△CEF，利用相似比得ODCF=DEEC=x（8-x），配方得ODCF=-（x-4）2+16，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得當(dāng)x=4時(shí)，ODCF的值最大，最大值為16；設(shè)此時(shí)半徑為R，則OA=OE=R，OD=8-R，在Rt△ODE中，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出此時(shí)半徑為5；

（3）在Rt△ODE中，利用勾股定理得到（8-OE）2+x2=OE2，則OE=4+，OD=8-OE=4-，再利用Rt△DOE∽Rt△CEF得到相似比 ，即 ，可計(jì)算得CF=，EF=，然后根據(jù)三角形周長(zhǎng)的定義得到△CEF的周長(zhǎng)得到CE+CF+EF=8-x++，再進(jìn)行分式的化簡(jiǎn)運(yùn)算即可得到△CEF的周長(zhǎng)為16．

試題解析：（1）證明：∵OA=OB，

∴∠OAE=∠OEA，

∴∠DOE=2∠DAE，

∵∠CEF=2∠DAE，

∴∠CEF=∠DOE，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠D=90°，

∴∠DOE+∠DEO=90°，

∴∠CEF+∠DEO=90°，

∴∠OEF=90°，

∴OE⊥EF，

∴直線EF為⊙O的切線；

（2）解：∵∠CEF=∠DOE，

∴Rt△DOE∽Rt△CEF，

∴，

∴ODCF=DEEC，

∵DE=x，

∴EC=8-x，

∴ODCF=x（8-x）

=-x2+8x

=-（x-4）2+16，

當(dāng)x=4時(shí)，ODCF的值最大，最大值為16，

設(shè)此時(shí)半徑為R，則OA=OE=R，OD=8-R，

在Rt△ODE中，

∵OD2+DE2=OE2，

∴（8-R）2+42=R2，解得R=5，

即此時(shí)半徑為5；

（3）猜想△CEF的周長(zhǎng)為16．

在Rt△ODE中，OD2+DE2=OE2，即（8-OE）2+x2=OE2，

∴OE=4+，

∴OD=8-OE=4-，

∵Rt△DOE∽Rt△CEF，

∴，即

∴CF=，EF=，

∴△CEF的周長(zhǎng)=CE+CF+EF= CE+CF+EF=8-x++=16．