Question

如圖，已知拋物線經過原點O和x軸上另一點A，它的對稱軸x=2與x軸交于點C，直線y=-2x-1經過拋物線上一點B（-2，m），且與y軸、直線x=2分別交于點D、E．
（1）求m的值及該拋物線對應的函數關系式；
（2）求證：①CB=CE；②D是BE的中點；
（3）若P（x，y）是該拋物線上的一個動點，是否存在這樣的點P，使得PB=PE？若存在，試求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可根據直線y=-2x-1求出B點的坐標，根據A、O關于直線x=2對稱，可得出A點的坐標，已知了拋物線上三點坐標即可用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）先求出C、B、E、D四點的坐標，
①根據C、B、E三點的坐標可求出CB，CE的長，判斷它們是否相等即可；
②本題可通過構建全等三角形來求解，過B作BF⊥y軸于F，過E作EH⊥y軸于H，根據B、D、E三點坐標即可得出BF=EH，DF=DH，通過證兩三角形全等即可得出BD=DE即D是BE中點的結論；
（3）若PB=PE，則P點必在線段BE的垂直平分線上即直線CD上，可求出直線CD的解析式，聯立拋物線即可求出P點的坐標．

解答：（1）解：∵點B（-2，m）在直線y=-2x-1上
∴m=-2×（-2）-1=3
∴B（-2，3）
∵拋物線經過原點O和點A，對稱軸為x=2
∴點A的坐標為（4，0）
設所求的拋物線對應函數關系式為y=a（x-0）（x-4）
將點B（-2，3）代入上式，得3=a（-2-0）（-2-4）
∴a=

1

4

∴所求的拋物線對應的函數關系式為y=

1

4

x（x-4）
即y=

1

4

x²-x；

（2）證明：①直線y=-2x-1與y軸、直線x=2的交點坐標分別為D（0，-1）E（2，-5），
過點B作BG∥x軸，與y軸交于F、直線x=2交于G，
則BG⊥直線x=2，BG=4
在Rt△BGC中，BC=

CG2+BG2

=5
∵CE=5，
∴CB=CE=5
②過點E作EH∥x軸，交y軸于H，

則點H的坐標為H（0，-5）
又點F、D的坐標為F（0，3）、D（0，-1）
∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°
∴△DFB≌△DHE（SAS）
∴BD=DE
即D是BE的中點；

（3）解：存在．
由于PB=PE，∴點P在直線CD上
∴符合條件的點P是直線CD與該拋物線的交點
設直線CD對應的函數關系式為y=kx+b
將D（0，-1）C（2，0）代入，得

b=-1 2k+b=0

，
解得k=

1

2

，b=-1
∴直線CD對應的函數關系式為y=

1

2

x-1
∵動點P的坐標為（x，

1

4

x²-x）
∴

1

2

x-1=

1

4

x²-x
解得x₁=3+

5

，x₂=3-

5

∴y₁=

1+ 5

2

，y₂=

1- 5

2

∴符合條件的點P的坐標為（3+

5

，

1+ 5

2

）或（3-

5

，

1- 5

2

）．

點評：本題為二次函數綜合題，考查了二次函數解析式的確定、等腰三角形的判定和性質、函數圖象交點等知識．