Question

【題目】在圓O中，C是弦AB上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OC并延長(zhǎng)，交劣弧AB于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)AO、BO、AD、BD. 已知圓O的半徑長(zhǎng)為5 ，弦AB的長(zhǎng)為8．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D是弧AB的中點(diǎn)時(shí)，求CD的長(zhǎng)；

（2）如圖2，設(shè)AC=x， ，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出定義域；

（3）若四邊形AOBD是梯形，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）2（2）y=（0＜x＜8）（3）或6

【解析】試題分析：

（1）由已知條件易得OD⊥AB，AC=AB=4，結(jié)合AO=5，由勾股定理可得OC=3，結(jié)合OD=5可得CD=2；

（2）如下圖，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，則由（1）可得OH=3，AH=4，結(jié)合AC=x可得CH=，在Rt△HOC中，由勾股定理可得OC=，結(jié)合即可得到所求關(guān)系式；

（3）若四邊形AOBD是梯形，則有OB∥AD或OA∥BD兩種情況，①當(dāng)OB//AD時(shí)，如下圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥OB交BO延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AD,垂足為點(diǎn)F，則OF=AE，結(jié)合S△ABO=AB·OH=OB·AE可得AE= ，然后在Rt△AOF中由勾股定理即可求得AF的長(zhǎng)，這樣就可由垂徑定理求得AD的長(zhǎng)了；②當(dāng)OA//BD時(shí)，如下圖，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥OA交AO延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AO，垂足為點(diǎn)G，則由①的方法同理可求得對(duì)應(yīng)的AD的長(zhǎng).

試題解析：

（1）∵OD過(guò)圓心，點(diǎn)D是弧AB的中點(diǎn)，AB=8，

∴OD⊥AB，AC=AB=4，

在Rt△AOC中，∵∠ACO=90°，AO=5，

∴CO=，

∴CD=OD-OC=5-3=2；

（2）過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，則由（1）可得AH=4，OH=3

∵AC=x，

∴CH=，

在Rt△HOC中，∵∠CHO=90°，AO=5，

∴OC=，

∵，

∴

（3）若四邊形AOBD是梯形，則有OB∥AD或OA∥BD兩種情況，現(xiàn)分別討論如下：

①當(dāng)OB//AD時(shí)，如下圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥OB交BO延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AD,垂足為點(diǎn)F，則OF=AE，

∵S△ABO=AB·OH=OB·AE，

∴AE=

在Rt△AOF中，∵∠AFO=90°，AO=5，

∴AF=，

∵OF過(guò)圓心，OF⊥AD，

∴AD=2AF=；

②當(dāng)OA//BD時(shí)，如下圖，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥OA交AO延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AO，垂足為點(diǎn)G，

則由①的方法同理可得AD=6；

綜上所述AD=或6.