Question

【題目】已知在平面直角坐標系中，為坐標原點，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，其中滿足方程組．

（1）若點到軸的距離為6，則的值為_________；

（2）連接，線段沿軸方向向上平移到線段，則點到直線的距離為_______，線段掃過的面積為15，則點平移后對應點的縱坐標為_______；

（3）連接，，，若的面積小于等于12，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）5；5；（3）且

【解析】

（1）利用點到坐標軸的距離的特點即可求出d的值；

（2）根據方程組求出a-b=5，進而根據平移的性質，得出AA'=BB'，再用面積公式即可求出點到直線的距離和點B沿軸方向向上平移后B'的縱坐標；

（3）分四種情況，利用面積的和差表示出△ABC的面積，進而建立不等式求解即可．

解：（1）點C的坐標為（c，d）且到x軸的距離為6，
∴|d|=6，
∴d=±6，
故答案為：±6；

（2）如圖1，

∴①+②得，3a-3b=15，
∴a-b=5，

∴b=a-5；
∴AD=a-b=5，即點到直線的距離為5，

設平移后B的對應點B'（b，m），
∴AA'=BB'=|m-2|，
∵線段AB掃過的面積為15，
∴15=SAA'B'B=AA'×（a-b）=|m-2|×5
∴m=5或m=-1（向上平移，舍去），
∴平移后B點的坐標B'的縱坐標為5，

故答案為：5，5；

（3）由（2）可得，

2×②-①得，3a-3c=-6，
∴a-c=-2，
∴c=a+2，即AE=2，

如圖2，

①當點C在x軸上方時，此時d＞0，
過點B作BD⊥x軸于D，過點C作CF⊥x軸交x軸于E，BA的延長線于F，

∴BD∥EF，
∴△ADB∽△AEF，

,

,

∵DE=AD+AE=7，BD=2，C（c，d），
∴CE=d，
∴S△ABC=S梯形BDEC-S△ABD-S△ACE

∵△ABC的面積小于等于12，
∴0＜S△ABC≤12，

，

∴

又∵d＞0，

∴；

②當點C在直線AB下方時，此時，如圖3，

過點B作BD⊥x軸于D，過點C作CF⊥x軸交x軸于E，過點B作BF⊥CE于F，

S△ABC=S△BCF-S梯形AEFB-S△ACE

∵△ABC的面積小于等于12，
∴0＜S△ABC≤12，

,

；

③當點C在直線AB上方，在x軸下方時，此時，如圖4

∵EF//BD，

∴△HBD∽△HCE，

∴,

設AH=m，則HE=2-m,HD=5+m，

∴，解得，

=

=

=

=，

∵△ABC的面積小于等于12，
∴0＜S△ABC≤12，

,

∴

又∵，

∴；

④當C在直線AB上時，A、B、C不構成三角形，舍去，即，

當C在x軸上時，，符合題意，此時d=0，

綜上所述，d的取值范圍為且．