Question

（2006•南充）如圖，經過點M（-1，2），N（1，-2）的拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點．
（1）求b的值．
（2）若OC²=OA•OB，試求拋物線的解析式．
（3）在該拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PAC的周長最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意可知，將點M，N的坐標代入函數解析式列的方程組，解方程組即可求得b的值；
（2）根據（1）可求得僅有一個未知系數的解析式y=ax²-2x-a，根據已知得：OC=a，OA=-x₁，OB=x₂，所以根據根與系數的關系，列方程求得a的值，求得二次函數的解析式；
（3）首先要確定點P的位置，即找到點A關于對稱軸的對稱點B，直線BC與函數對稱軸的交點即是所求的P點；求得直線BC的解析式即可求得點P的坐標．
解答：解：（1）將M，N兩點的坐標代入拋物線解析式，得

②-①，得
2b=-4
∴b=-2．

（2）由（1）b=-2，a+c=0
所以拋物線的解析式可寫為y=ax²-2x-a
則C（0，-a）
設A（x₁，0），B（x₂，0）
則x₁，x₂是方程ax²-2x-a=0的二根
從而x₁x₂=-1
由所給圖形可知OC=a，OA=-x₁，OB=x₂
∵OC²=OA•OB
∴a²=-x₁x₂
∴a²=1
∴a=1（a＞0）
∴拋物線解析式為y=x²-2x-1．

（3）在拋物線對稱軸上存在點P，使△PAC的周長最小．
∵AC長為定值
∴要使△PAC的周長最小，只需PA+PC最小
∵點A關于對稱軸x=1的對稱點是B，由幾何知識知PA+PC=PB+PC，BC與對稱軸的交點為所求點P．
由（2）知B（+1，0），C（0，-1），經過點B（+1，0），C（0，-1）的直線為y=（-1）x-1，
當x=1時，y=-2．
即P（1，-2）．
點評：此題考查了二次函數的綜合知識，要注意待定系數法求函數解析式，還要注意根與系數的關系，解題的關鍵是要注意數形結合思想的應用．