Question

如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點(點G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結BG，DE.我們探究下列圖中線段BG、DE的長度關系及所在直線的位置關系：

　　(1)①猜想如圖1中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系(直接寫出答案)；

　　②將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針(或逆時針)方向旋轉任意角度α得到圖2，圖3的情形.請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷.

　　(2)在第(1)題圖2中，連接DG、BE，且AB=3，EF=2，求BE2+DG2的值.

 

Answer 1

∴BG=DE，

　　∠GBC=∠EDC.

　　∵∠GBC+∠BKC=90°，

　　∠BKC=∠DKO，

　　∴∠EDC+∠DKO=90°.

　　∴∠KOD=90°.

　　∴BG⊥DE.……8分

　　(2)連接BD，EG.

　　∵BG⊥DE，

　　∴∠BOE=∠DOG=∠BOD=∠EOG=90°.

　　∵在Rt△BOE中，∠BOE=90°，

　　∴BO2+EO2=BE2.

　　同理DO2+GO2=DG2.

　　∴BE2+DG2=BO2+EO2+DO2+GO2.

　　∵在△BOD中，∠BOD=90°

　　∴BO2+OD2=BD2.

　　同理EO2+OG2=EG2.　　

　　∴BE2+DG2=BD2+EG2.

　　∵四邊形ABCD為正方形，

　　∴∠A=90°，AD=AB=3.

　　∵在Rt△ABD中，∠A=90°，

　　∴BD2=AB2+AD2=32+32=18.

　　∴BE+DG=18+8=26.……12分

 

解析:略