Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）當直線MN繞點C旋轉到圖（1）的位置時，顯然有：DE=AD+BE；請證明．

（2）當直線MN繞點C旋轉到圖（2）的位置時，求證：DE=AD-BE；

（3）當直線MN繞點C旋轉到圖（3）的位置時，試問（2）中DE、AD、BE的關系還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，它們又具有怎樣的等量關系？請證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）DE=BE﹣AD．

【解析】

（1）證明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質即可解決問題；

（2）證明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質即可解決問題；

（3）當直線MN繞點C旋轉到圖（3）的位置時，仍然△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質可以得到DE=BE﹣AD．

（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，

又直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，

在△ADC和△CEB中，

∵，

∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD=BE，AD=CE，∴DE=CD+CE=AD+BE；

（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，

∴∠ACD=∠CBE．

而AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；

（3）如圖3．

∵△ABC中，∠ACB=90°，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．

∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD；

DE、AD、BE之間的關系為DE=BE﹣AD．