Question

如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，BC=8，∠B=60°，點M是邊BC的中點，點E、F分別是邊AB、CD上的兩個動點（點E與點A、B不重合，點F與點C、D不重合），且∠EMF=120°．
（1）求證：ME=MF；
（2）試判斷當點E、F分別在邊AB、CD上移動時，五邊形AEMFD的面積的大小是否會改變，請證明你的結論；
（3）如果點E、F恰好是邊AB、CD的中點，求邊AD的長．

Answer 1

分析：（1）過點M作MG⊥AB，MH⊥CD，先利用角角邊證明△BGM與△CHM全等，然后根據全等三角形對應邊相等可得MG=MH，然后根據角的關系推出∠EMG=∠FMH，再利用角角邊證明△EGM與△FHM全等，根據全等三角形對應邊相等即可證明ME=MF；
（2）根據（1）中結論，可知S_△EMG=S_△FMH，所以點E、F移動時，五邊形AEMFD的面積始終等于五邊形AGMHD的面積，不變；
（3）[方法一]連接AM，然后證明△BEM與△CFM全等，根據全等三角形對應角相等得到∠BME=∠CMF，從而推出ME是AB的垂直平分線，然后證明△ABM是等邊三角形，再根據等邊三角形的每一個角都是60°得到∠AMB=60°，然后證明四邊形AMCD是平行四邊形，根據平行四邊形對邊相等即可求解AD=MC．
[方法二：[或先證明出△BEM是直角三角形，根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BE的長度，從而得到AB的長度，再過點A作AK⊥BC，D作DL⊥BC，然后求出BK=LC=2，再根據四邊形AKLD是矩形即可得解．]

解答：（1）證明：過點M分別作MG⊥AB，MH⊥CD，垂足為點G、H，
∵點M是邊BC的中點，
∴BM=CM，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠C=60°，
又∵MG⊥AB，MH⊥CD，
∴∠BGM=∠CHM=90°，
在△BGM與△CHM中，

∠B=∠C=60° ∠BGM=∠CHM=90° BM=CM

，
∴△BGM≌△CHM（AAS），
∴MG=MH，∠BMG=∠CMH=30°，
即得∠GMH=∠EMF=120°，
又∵∠EMF=∠EMG+∠GMF，且∠GMH=∠GMF+∠FMH，
∴∠EMG=∠FMH，
在△EGM與△FHM中，

∠EMG=∠FMH ∠BGM=∠CHM=90° MG=MH

，
△EGM≌△FHM（AAS），
∴ME=MF；

（2）解：當點E、F在邊AB、CD上移動時，五邊形AEMFD的面積的大小不會改變．
證明：∵△EGM≌△FHM，
∴S_△EMG=S_△FMH，
∴S_{五邊形AEMFD}=S_{五邊形AGMHD}；

（3）解：方法一：連接AM（在備用圖一），
當點E、F恰好是邊AB、CD的中點，且AB=CD，得BE=CF．
又∵ME=MF，BM=CM，
∴△BEM≌△CFM（SSS），
∴∠BME=∠CMF，
∵∠EMF=120°，
∴∠BME=

1

2

（∠180°-∠EMF）=

1

2

（180°-120°）=30°，
又∵∠B=60°，
∴∠BEM=180°-60°-30°=90°，
∵點E是邊AB的中點，
∴ME是邊AB的垂直平分線，
∴MA=MB，
∵∠B=60°，
∴△ABM是等邊三角形，
∴∠AMB=60°，
∴∠AMB=∠C．
∴AM∥CD，
又∵AD∥MC，
∴四邊形AMCD是平行四邊形，
∴AD=CM，
∵BC=8，BM=CM，
∴CM=4，
∴AD=CM=4．

方法二：當點E、F恰好是邊AB、CD的中點，且AB=CD，得BE=CF．
又∵ME=MF，BM=CM，
∴△BEM≌△CFM（SSS），
∴∠BME=∠CMF，
∵∠EMF=120°，
∴∠BME=

1

2

（∠180°-∠EMF）=

1

2

（180°-120°）=30°，
又∵∠B=60°，
∴∠BEM=180°-60°-30°=90°，
∵∠BME=30°，
∴BE=

1

2

BM=2，
∵E是邊AB的中點，
∴AB=4，
分別過點A、D作AK⊥BC，DL⊥BC，垂足為點K、L（在備用圖二中）．
∵∠B=60°，
∴BK=

1

2

AB=2，
同理可得，CL=2，
∴KL=8-2-2=4，
∵AK⊥BC，DL⊥BC，AD∥BC，
∴四邊形AKLD是矩形，
∴AD=KL=4．

點評：本題綜合考查了等腰梯形的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，綜合性較強，仔細分析題意作出輔助線是解題的關鍵，本題難度較大，對同學們能力要求較高．