Question

【題目】如圖，已知在矩形紙片中，將紙片折疊，使頂點與邊的點重合.若折痕分別與交于點的外接圓與直線有唯一一個公共點，則折痕的為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據折疊的性質判斷出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，從而判斷出EF=AG，得出四邊形AGEF是平行四邊形，繼而結合AG=GE，判定四邊形AGEF是菱形；連接ON，得出ON是梯形ABCE的中位線，在RT△ADE中，利用勾股定理可解出x，繼而可得出折痕FG的長度．

由折疊的性質可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，

∵DC∥AB，

∴∠EFG=∠AGF，

∴∠EFG=∠EGF，

∴EF=EG=AG，

∴四邊形AGEF是平行四邊形（EF∥AG，EF=AG），

又∵AG=GE，

∴四邊形AGEF是菱形

令△AED的外接圓與直線有唯一一個公共點為N，連接ON，如圖所示，

∵△AED是直角三角形，AE是斜邊，點O是AE的中點，△AED的外接圓與BC相切于點N，

∴ON⊥BC，

∵點O是AE的中點，

∴ON是梯形ABCE的中位線，

設CE=x，則ED=2-x，2ON=CE+AB=x+2，

在Rt△AED中，AE=2OE=2ON=x+2，

AD2+DE2=AE2，

∴12+（2-x）2=（2+x）2，

得x=，

，

∵△FEO∽△AED，

∴，

解得：FO=，

∴FG=2FO=．

故答案為：.