Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD＜BC，對角線AC、BD相交于O點，AC=BD，∠ACB=∠DBC.

（1）求證：四邊形ABCD為等腰梯形.

（2）若E為AB上一點，延長DC至F，使CF=BE，連接EF  交BC于G，請判斷G點是否為EF中點，并說明理由.

Answer 1

（1）證明：∵∠ACB=∠DBC，∴OB=OC，

    ∵AC=BD，∴OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，

    ∵∠DOC=∠OAD+∠ODA=∠OBC+∠OCB，

    ∴2∠OAD=2∠OCB，∴∠OAD=∠OCB，∴AD∥BC
    ∵AD＜BC，∴四邊形ABCD為梯形．

    在△ABC和△DCB中：AC=BD，∠ACB=∠DBC，CB=BC．

    ∴△ABC≌△DCB，∴AB=CD，∴四邊形ABCD為等腰梯形．

（2）解：點G是EF中點．理由：  

    過E作EH∥CD交BC于H．∴∠EHB=∠DCB，∠EHG=∠GCF，
   ∵梯形ABCD為等腰梯形，∴∠EBH=∠DCB，

   ∴∠EBH=∠EHB，∴EB=EH，

   ∵EB=CF，∴EH=CF，

   在△EHG和△FGC中：∠EHG=∠FCG，∠EGH=∠FGC，EH=CF，

   ∴△EHG≌△FGC，∴EG=FG即G為EF中點．