Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A（0，2），B（1，0）分別在y軸和x軸的正半軸上，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將線段BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)D．
（1）如圖1，若該拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，且a=﹣ ．
①求點(diǎn)D的坐標(biāo)及該拋物線的解析式；
②連結(jié)CD，問：在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

（2）如圖2，若該拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)E（1，1），點(diǎn)Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余．若符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè)，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：①過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖1，

∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠DBF=∠BAO，

又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，

在△AOB和△BFD中，

，

∴△AOB≌△BFD（AAS）

∴DF=BO=1，BF=AO=2，

∴D的坐標(biāo)是（3，1），

根據(jù)題意，得a=﹣ ，c=0，且a×32+b×3+c=1，

∴b= ，

∴該拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x；

②∵點(diǎn)A（0，2），B（1，0），點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，

∴C（ ，1），

∵C、D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為1，

∴CD∥x軸，

∴∠BCD=∠ABO，

∴∠BAO與∠BCD互余，

要使得∠POB與∠BCD互余，則必須∠POB=∠BAO，

設(shè)P的坐標(biāo)為（x，﹣ x2+ x），

（Ⅰ）當(dāng)P在x軸的上方時(shí)，過P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖2，

則tan∠POB=tan∠BAO，即 = ，

∴ = ，解得x1=0（舍去），x2= ，

∴﹣ x2+ x= ，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ， ）；

（Ⅱ）當(dāng)P在x軸的下方時(shí)，過P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖3

則tan∠POB=tan∠BAO，即 = ，

∴ = ，解得x1=0（舍去），x2= ，

∴﹣ x2+ x=﹣ ，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ，﹣ ）；

綜上，在拋物線上是否存在點(diǎn)P（ ， ）或（ ，﹣ ），使得∠POB與∠BCD互余

（2）解：如圖3，

∵D（3，1），E（1，1），

拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)E、D，代入可得 ，解得 ，所以y=ax2﹣4ax+3a+1．

分兩種情況：

①當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c開口向下時(shí)，若滿足∠QOB與∠BCD互余且符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè)，則點(diǎn)Q在x軸的上、下方各有兩個(gè)．

（i）當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的下方時(shí)，直線OQ與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足條件的Q有2個(gè)；

（ii）當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的上方時(shí)，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)必須在x軸的正半軸上，與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸，所以3a+1＜0，解得a＜﹣ ；

②當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c開口向上時(shí)，點(diǎn)Q在x軸的上、下方各有兩個(gè)，

（i）當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的上方時(shí)，直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn)，符合條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)；

（ii）當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的下方時(shí)，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn)，符合條件的點(diǎn)Q才兩個(gè)．

根據(jù)（2）可知，要使得∠QOB與∠BCD互余，則必須∠QOB=∠BAO，

∴tan∠QOB=tan∠BAO= = ，此時(shí)直線OQ的斜率為﹣ ，則直線OQ的解析式為y=﹣ x，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣ x有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以△=（﹣4a+ ）2﹣4a（3a+1）＞0，即4a2﹣8a+ ＞0，解得a＞ （a＜ 舍去）

綜上所示，a的取值范圍為a＜﹣ 或a＞ ．

【解析】（1）①過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，先依據(jù)AAS證明△AOB≌△BFD，從而可得到D的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入到拋物線的解析式求解即可；②先證得CD∥x軸，故此可得到∠POB=∠BAO，設(shè)P的坐標(biāo)為（x，-x2+x），分為P在x軸的上方，P在x軸的下方兩種情況畫出圖形，過P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，然后依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義列比例式求解即可；
（2）如果使得符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè)，那么當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線交于y軸的負(fù)半軸，當(dāng)a＞0時(shí)，最小值得＜-1，接下來，解關(guān)于a的不等式即可.